（2）由?C?90?，tan?A?3a3，得?． 4b4
令a?3，b?4k?k?0?，则c?5k，于是7k?5k?4，得k?2，从而有 a?6，b?8，c?10．
17．2．9★★在Rt△ABC中，?C?90?，S△ABC?m，且两直角边长满足条件3a?2b?m．
2（1）证明：m≥24；
（2）当m取最小值时，求△ABC中最小内角的正切值． 解析（1）由题设得 ?ab?m , ?3a?2b?m.??m?3a?消去b，得a???m，故实数a满足二次方程
2??3x2?mx?2m?0．
①
所以△?m2?24m?m?m?24?≥0．
因为m?0，所以m≥24．
（2）当m?24时，方程①只有一个实数根a?4，从而b?6．由b?a，知△ABC的最小内角为?A，
a2?． b37．2．10★★如图所示．?A??BEF??EBC??ECD?90?，?ABF?30?，?BFE?45?，?ECB?60?且AB?2CD．求tan?CDE的值． 其正切值tanA?BCDAFE
解析
因为tan?CDE?CE，已知AB?2CD，因此，只需求出AB与CE的比值即可． CDAB24． ??cos30?332不妨设CD?1，则AB?2．在Rt△ABF中，?A?90?，?ABF?30?，所以BF?在Rt△BEF中，?BEF?90?，?BFE?45?，所以BE?BFcos45??43?222? 23在Rt△BEC中，?EBC?90?，?ECB?60?， CE?CE42?． CD3BE22242???，所以sin60?333tan?CDE?7．2．11★★如图所示．在锐角△ABC中，sinB?4，tanC?2，且S△ABC?10．求BC． 5ABDC
解析
作AD?BC于D，设AD?x，在Rt△ABD中，因为sinB?43，所以cosB?1?sin2B?， 55所以tanB?sinB4AD43?，所以?，BD?x． cosB3BD34ADADx3x5?2，所以CD??，所以BC?BD?CD?x??x． ① DC22424在Rt△ADC中，因为tanC?1因为S△ABC?BC?AD?10，
215所以?x?x?10，
24所以x?4．
5由①知BC??4?5．
4评注 在一般三角形中，在适当位置作高线，将其转化为直角三角形求解，这是解斜三角形常采用的方法．
7．2．12★★如图所示．在△ACD中，?A?45?，CB?5，CD?7，BD?3．求?CBD及AC．
CAEBD
解析1 作CE?AD于E，设CE?x，BE?y，则有
222??x?y?5 , ① ?222??x??y?3??7. ②②-①得6y?9?72?52?24，所以y?25． 25BE21532?5?co?sCBE???因为x?52?y2?5?，所以，所以?CBE?60?，???CB522?2??CBD?180??60??120?，所以AC?解析2 在
22△CBD2中，
CE53256???．
sin45?222BC?5，BD?3，CD?7，由余弦定理得
CD2?BC2?BD272?52?321CD?BC?BD?2BC?BD?cos?CBD，所以cos?CBD????，
?2?BC?BD?2?5?32所以?CBD?120?，从而?CBA?60?．在△ABC中，由正弦定理得
5?32?56A．
222ACBC, ?sin?CBAsinA所以AC?BC?sin?CBA?sinA7．2．13★★如图，已知△ABC中，AB?1，D是AB的中点，?DCA?90?，?DCB?45?．求BC的长．
ECADB
解析
作BE?ACB，交AC的延长线于E，设BC?x．则BE?BC?sin45??x2，
CE?BC?cos45??x2 由DC∥BE，D是AB的中点，知AE?2EC??2x??x?而AE?BE?AB，得??????1．
22????2222x2．
22即x?评注
法．
7．2．14★★如图，△ABC中，?ACB?90?，CD?AB于D，DE?AC于E，DF?BC于F．
1010，所以BC?．
55通过构造直角三角形，使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方
AEAC3求证：． ?BFBC3CFEADB解析
AEEDDF?ADE??ACD??B，而tan?ADE?，tan?ACD?，tanB?，所以
DEECBFAEEDDF???tanB， DEECFB又DF?EC，所以
AEEDECAE???tan3B，所以?tan3B． DEECBFBFACAEAC3又tanB?，所以． ?BCBFBC3评注 本题直角三角形较多，直接用相似三角形往往找不好关系，利用等角的三角函数作边的转化，使关系明确．
7．2．15★★如图，在△ABC中，?A?90?，AB?AC，M是AC边的中点，AD垂直于BM且交BC于D．
AMFCBD
求证：?AMB??CMD． 解析 作DF?AC于F，不妨设AB?3，因AD?BM，?BAM?90?，所以?DAF??ABM． 1ACMA21DF1??．tan?DAF?又tan?ABM??． ABAB2FA2又?BAC?90?，AB?AC，?C?45?，而?DFC?90?，故FC?FD． 由于
FC1331?，而FC?FA?3，FC?1，FA?2，而MC?，FM??1?，FD?1， FA2222FD1AB??2，又tan?AMB??2，?AMB，?CMD是锐角． 1FMAM2即tan?CMD?因此?AMB??CMD． 评注 利用解三角形的知识把结论中有关的线段用常数或适当的参数表示，通过计算证明几何命题，这种方法称为几何题的三角证法．
7．2．16★★在等腰直角三角形ABC中，AB?1，?A?90?，点E为腰AC上任意一点，AE?a，点
F在底边BC上，且FE?BE，求证：S△CEF?解析
a?1?a?22?1?a?．
如图，过点F作FD?AC，垂足为D．
AEDBFC
因为?ABE??BEA??BEA??DEF，所以?ABE??DEF，从而知△ABE∽△DEF，
ABAE． ?DEDF又因为FD?CD，则令FD?x，那么DE?1?a?x．
a?1?a?1a于是． ?，得x?1?a1?a?xx得故S△CEFa?1?a?a?1?a?11． ?EC?FD???1?a???221?a2?1?a?27．2．17★★★如图，在直角三角形ABC中，?A?90?，AB?a，AC?b，E是AC上一动点，F在
BC上，E从点A开始向C运动且保持EF?BE，试写出S△EFC与点E运动时到点A距离x的关系式．
AEBFDC
解析
如图，过点C作CD?EF，交直线EF于D，则△ABE∽△DEC，得
ABBEAE． ??EDECCDa?由AE?x，得EC?b?x，则DEa?b?x??b?x?xa2?x2x?，得DE?，CD?．
2222b?xCDa?xa?x又△BEF∽△CDF，则
BEEF?CDDF，即
BE?B?EC?DEFEF，得?EFFDEDa2?x2?EF?a2?x2?a?b?x?22a2?x2?a?b?x?a?x．
a2?bx?b?x?xa2?x22故S△CEF11ax?b?x??EF?CD??2．
22a?bx7．2．18★★如图（a），正方形ABCD的边长215，E、F分别是AB、BC的中点，AF分别交DE、
DB于点M、N，求△DMN的面积．
AMENBF(a)CBENF(b)CDAMD
解析
记正方形ABCD的边长为2a．由题设易知△BFN∽△DAN，则有
ADANDN2???， BFNFBN1得AN?2NF，所以AN?2AF． 3AB25?． AF5在直角△ABF中，AB?2a，BF?a，则AF?AB2?BF2?5a，于是cos?BAF?△AD≌△BAF由题设可知，
?AME?180???BAF??AED?180???BAF??AFB?90?．
所以?AE?D?，
于是AM?AE?cos?BAF?25245a，MN?AN?AM?AF?AM?a， 5315