Ha(?S)?Ha(S)?1?(1S2N)j?c (2-2)
可见，Butter worth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。
图2-2为N=3的巴特沃斯滤波器的幅度平方函数的极点分布。 从系统的稳定性分析可知，巴特沃斯滤波器的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3，SP4，SP5)组成的，它们分别为：
Sp3??ce2j?3,Sp4???c,Sp5??ce2?j?3 (2-3)
系统函数为：
?3c Ha(s)?(S?Sp3)(S?Sp4)(S?Sp5)(2-4)
图2-2三阶A(?s2)的极点分布
分子的?3c使得s=0时如果令?c=1，便得归一化的三阶巴特沃斯滤低通波器：
Ha(s)?1S3?2S2?2S?1 (2-5)
令s=s?，则上式变成为原来的的式子：
c
Ha(s)?1
(s/?c)3?2(s/?c)2?2(s/?c)?112
(2-6)
用MATLAB对巴特沃斯低通模拟滤低通波器仿真的编程程序如
下：其调用的格式为：[z,p,k]=buttap(N)其中,z表示零点，p表示极点，
k表示增益，N表示阶次。
%巴特沃斯低通模拟滤波器 n=0:0.01:2; %设定频率点
for i=1:4; %定义循环，产生不同阶数的曲线 switch i case 1 N=2; case 2 N=5; case 3 N=10; case 4 N=20; end
[z,p,k]=buttap(N); %调用Butterworth模拟低通原型的函数 [b,a]=zp2tf(z,p,k); %将零点极点增益形式转换为传递函数的形式
[H,w]=freqs(b,a,n); %按n制定的频率点给频率响应 magH2=(abs(H)).^2; %函数abs—取模值函数 hold on
%函数hold—控制是否保持当前图形
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plot(w,magH2) axis([0 2 0 1]); end
xlabel('w/wc'); ylabel('|H(jw)|^2');
%函数plot—画二维线性图
%函数axis—控制坐标轴比例和外观
title('巴特沃斯低通模拟滤波器'); grid on
仿真出来巴特沃斯低通模拟滤波器的平方幅度响应曲线如图所示：
图2-3 巴特沃斯滤波器的幅频特性（基于MATLAB实现） 由图2-3可清晰的分析出，巴特沃斯滤波器拥有平滑的频率响应，在截止频率以外，频率响应单调下降。其过渡带的峭陡程度正比于滤波器的阶数，高阶巴特沃斯滤波器和N=20阶滤波器的平方幅度响应进行比较后，证明了高阶巴特沃斯滤波器有更好的幅度特性，更接近理想低通滤波器
用MATLAB对巴特沃斯低通模拟滤低通波器仿真的编程程序如
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下：其调用的格式为：[z,p,k]=buttap(N)其中，z表示零点，p表示极点，k表示增益，N表示阶次。
MATALAB的编程程序： %巴特沃斯高通模拟滤波器 n=0:1:5000; %设定频率点
for i=1:4; %定义循环，产生不同阶数的曲线 switch i case 1 N=2; case 2 N=5; case 3 N=10; case 4 N=20; end
[z,p,k]=buttap(N); %调用Butterworth模拟低通原型的函数 [b,a]=zp2tf(z,p,k); %将零点极点增益形式转换为传递函数的形式
[bt,at]=lp2hp(b,a,200*2*pi); %又低通原型滤波器转换为截止频率为200Hz的高通滤波器
[Ht,w]=freqs(bt,at,n);
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subplot(2,1,2); hold on; plot(w,abs(Ht)); end
xlabel('w/pi'); ylabel('|H(jw)|^2');
title('巴特沃斯高通模拟滤波器');
仿真出的巴特沃斯高通模拟滤波器的平方幅度响应曲线如图2-4所示：
图2-3 巴特沃斯滤波器的幅频特性（基于MATLAB实现）
对图2-3的结果进行分析：由图的模拟高通滤波器幅度平方函数曲线可得到随着阶数N的增大曲线的过度带逐渐变窄，滤波器的性能越接近直角矩形特性，滤波效也就越好。 2.1.2 切比雪夫虑波器设计
切比雪夫低波器的显著特点是，其逼近误差峰值在一个规定的频段上为最小，实际上误差值在规定的频段上是等波纹的，既误差之等
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