西城教育研修学院 初三数学研修活动材料
变，求出ME：MF的值. （直接写出答案）
09宣武一模
23．如图， 已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
AA
D DEE
NB B M F C MFC N N
EDQ24--1PCMFANBCMFDEABCMBFNDEQ24--3PACMDEQAFBNNQP24--2PADEE FCM
B （第23题图1） （第23题图2） （第23题图3）
25．如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，点B的坐标是(3,1)，点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处． （1）若点P在一次函数y?2x?1的图象上，求点P的坐标；
（2）若点P在抛物线y?ax图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；
（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值．
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yADPxOCOCxOCxByAByAB
（第25题图） （第25题备用图1） （第25题备用图2）
09丰台一模
22．把两个三角形按如图1放置，其中∠ACB?∠DEC?90?，∠A?45?，∠D?30?，且AB?6，DC?7．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，这时AB与CD1相交于点O，与D1E1
相交于点F．
（1）求∠ACD1的度数； （2）求线段AD1的长；
（3）若把△D1CE1绕点C顺时针再旋转30°得到△D2CE2， 这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？请说明理由． C A
D
A O F
B
图2
E
D
C E B 图1 AD，∠ACB为锐角，23．如图1，在△ABC中，点D为射线BC上一点，联结以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
?（1）如果AB?AC，∠BAC?90，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF、BD的数量关系为 ；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
∠BAC是锐角，（2）如果AB?AC，点D在线段BC上，当?ACB满足什么条件时，CF?BC（点
C、F不重合），并说明理由．
B
A F D 图1
B A F FD E
E C D 图2
E C
B 17
A C 图3
D
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09顺义一模
22. 取一副三角板按图①拼接，固定三角板
ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方
向旋转一个大小为?的角(0???≤45?)得到△ABC?，如图所示．
试问：（1）当?为多少度时，能使得图②中AB∥DC？
（2）连结BD，当0??≤45时，探寻?DBC???CAC???BDC值的大小变化情况，并给出你
??的证明．
25. 已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
E B
M B E D M C 图②
A D C A 图①
09通州一模 25．请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，
并对你的猜想给予证明； 图（1）
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（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时， 如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明 你的猜想并给予证明.
图（2）
09怀柔二模
22．取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△A B'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究： （1）△AEF是什么三角形?证明你的结论；
（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形?请说明你的理由．
图1
图2
325．如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=5．
图3 图4
点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN． （1）当BO=AD时，求BP的长； （2）点O运动的过程中，是否存在 BP=MN的情况？若存在，请求出当 BO为多长时BP=MN；若不存在， 请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以
B
P A
O M D
A
N C B
D
C
（备用图）
点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围.
09东城二模
22．请设计一种方案：把正方形ABCD剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形,画出必要的示意图．
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（1）使拼成的三角形是等腰三角形．（图1）
（2）使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形．（图2）
（图1） （图2）
09海淀二模
23、已知△ABC,∠ABC=∠ACB=63.如图1所示，取三边中点，可以把△ABC分割成四个等腰三角形. 请你在图2中，用另外四种不同的方法把△ABC分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）
AAAA0BCBCADADBCBCBCBC
24．点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作?ABE和?BCF，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN．
0（1）若?ABE和?FBC是等腰直角三角形，且?ABE??FBC?90(如图1)，则?MBN 是 三角形．
（2）在?ABE和?BCF中，若BA=BE,BC=BF,且?ABE??FBC??，（如图2），则?MBN是 三角形，且?MBN? . （3）论是MENF若将（2）中的?ABE绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结
否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
AB（如图1)20
C