西城教育研修学院 初三数学研修活动材料
09朝阳二模
AB（如图2）EMNFEMANFCB（如图3）C25．在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD?E?（使?BCE?＜180°），连接AD?、BE?，设直线BE?与AC交于点O. （1）如图①，当AC=BC时，AD?:BE?的值为 ；
BEA将
ADE'OCD'（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求AD?:BE?的值； （3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值.
09大兴二模
BDE'OECD'26．我们知道：将一条线段AB分割成大小两条线段AC、CB，若小线段CB与大线段AC的长度之比等于大线段AC与线段AB的长度之比，即
CBAC5?1???0.61803398874989...这种分割ACAB2称为黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.
(1) 类似地我们可以定义，顶角为36?的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点.如图24-1，在?ABC中，?A?36?，AB?AC,?ACB的角平分线CD交腰AB于点D， 请你说明D为腰AB的黄金 分割点的理由.
(2) 若腰和上底相等,对角 图24-1 图24-2 图24-3
线和下底相等的等腰梯形叫作黄金梯形,其对角线的交点为对角线的黄金分割点. 如图24-2,AD‖BC,AB?AD?DC,AC?BD?BC,试说明O为AC的黄金分割点.
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(3 )如图24-3,在Rt?ABC中,?ACB?90?,CD为斜边AB上的高，?A、?B、?ACB的对边分别为a、b、c.若D是AB的黄金分割点，那么a、b、c之间的数量关系是什么？并证明你的结论. 27、已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系.
（1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________;
（2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
09西城二模
28.如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a，
（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或者最小值，若存在，求出来，若不存在，说明理由
BPOCA图1
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值
（3）在（2）的条件下，若将“E是CD的中点”改为“CE=k·DE”，其中k为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值（用k的代数式表示） 09宣武二模
29. (1) 已知：如图1，?ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点， 求证：PA?PB?PC
(2) 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点， 求证: PA?PC?2PB
(3) 如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明.
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FOABPCEDBPCOAD图2
图3
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