平面α过正方形ABCD- A1B1C1D1的三个顶点B,D, A1,α与底面A1B1C1D1的交线为L,则L与B1D1的位置关系？
如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ。求证：PQ∥面BCE
4下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是( )．
空间三条直线，其中一条和其他两条都相交，那这三条直线中的两条能确定的平面个数是多少
1、 2、 3、
若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面； 若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。 若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。
答案：一个或三个
线面平行的判定定理证明 线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
线面平行的定义是：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。 证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。用反证法证明a‖α。 假设直线a与平面α不平行，则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。 则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。 过点A在平面α内作直线c‖b，由a‖b得a‖c。 而A∈a，且A∈c，即a∩c=A，这与a‖c相矛盾。 于是假设错误，故原命题正确。（反证法）
例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值．
D1C1解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC1，D1B1，A1D，它们所在直线两两都是异面直线．又
A1若有5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点B1相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故 K的最大值是4．
DC
AB
练习1 在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共
计27个点中，问共线的三点组的个数是多少
8?7?28个；两端点都为面的中心共线解答 两端点都为顶点的共线三点组共有26?112?3?3个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有?18个，且三点组共有22没有别的类型的共线三点组，所以总共有28?3?18?49个．
例题3在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，求AP+D1P的最小值．
解答 将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至A?A1B，使三角形A?A1B与四边形A1BCD1共面，联结A?D1，则A?D1的长即为AP+ D1P的最小值，所以，
A?D1?12?12?2?1?1?cos1350?2?2
练习3已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1的对棱BB1、D1上有两个动点E、F，
1BE=D1F=?（0???）．设EF与AB所成的角为?，与BC所成的角为?，求???2的最小值．
1?????．解答 当??时，不难证明????f(?)是单调减函数．因此???的22?最小值为．
2例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是 ．
分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：2r??2?423 ∴ V?????a??a ???324?4?32a 2P
练习：同样可用体积法求出棱长为a的正四面体的外 接球和内切球的半径．分析可知，正四面体的内切球 与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连， A R O rE
C D
可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体B 高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正四面体的高度即可．
?3?66226又：h?a2??，所以，R?a,r?a． a?a?a?3??41233??例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分2的体积比．
分析：取BC的中点D，连接PD交AM于G，设 所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由 直线与平面平行的性质定理得：EF∥BC，连接 AE，AF，则平面AEF为合乎要求的截面． 作OH∥PG，交AG于点H，则：OH=PG．
BCEF?PDPG?PG?GDPG?1?GDPG?1?GDAD5OH?1?AO?2； 2故：VA?PEFV?S?PEF?EF?4VA?PEF4S????；于是：A?PBC?PBC?BC?25V?．A?EFBC21
P F M G H E C A
O D B
8、如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有
(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条