立体几何小题难题训练
一．选择题
1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
2．如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
3．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（ ） ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC； ②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行； ④存在点E使得SE⊥BA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为为（ ） A．
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的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值
B． C． D．
5．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．已知矩形ABCD，AB=1，BC=行翻折，在翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）
A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条
8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：
①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC； ②若A，P，M三点共线，则③若
=
，则C1Q∥面APC；
=；
．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进
④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7． 其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2 C．3 D．4
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9．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．③④
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（，+∞） C．（+1，+∞） D．（+1，+∞）
11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC
﹣
B
的
余
弦
值
为
（
）
A． B．
C． D．
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12．如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（ ）
A．12 B．24 C．32 D．48
13．在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=余弦值是﹣A．
，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的
，则该四面体外接球的表面积是（ ）
C．6π D．
B．
14．过空间中一定点，作一直线，使其与某正方体六个面所成的角都相等，这样的直线有几条（ ） A．1
B．2
C．4
D．无数条
15．如图，边长为3正方形ABCD，动点M，N在AD，BC上，且MN∥CD，沿MN将正方形折成直二面角，设AM=x，则点M到平面ABC的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．正三棱锥P﹣ABC内接于半球O，底面ABC在大圆面上，则它相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为（ ） A．
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B． C． D．
17．在长方形ABCD中，AD=2，AB=4，点E是边CD上的一动点，将△ADE沿直线AE翻折到△AD1E，使得二面角D1﹣AE﹣B为直二面角，则cos∠D1AB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1=2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|2的最小值是（ ）
A．87 B．88 C．89 D．90
19．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（
）
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
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