20．三棱锥P﹣ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O，且满足，
A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是（ ）
A．12 B．36 C．48 D．24
21．已知四面体ABCD中，AB=2，CD=1，AB与CD间的距离与夹角分别为3与
30°，则四面体ABCD的体积为（ ）A． B．1
二．填空题（共9小题）
C．2
D．
22．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直
线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是 ．
23．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．
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24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题： ①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）
25．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，且==2，
将此正方形沿DE，DF折起，使点A，C重合于点P，若O为线段EF任一点，DO与平面PEF所成的角为θ，则tanθ的最大值是 ．
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAD同时垂直侧面PAB与侧面PDC．若PA=AB=AD=直线PC与底面ABCD所成角的正切值为 ．
PB，则
= ，
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27．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1，的距离是 ．
，则顶点D到平面α
28．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为
，∠CDB=45°，
，则∠APB的最大值为 ．
29．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是 ．
30．如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A﹣BD﹣E与二面角E﹣BD﹣C′的大小分别为15°和30°，则= ．
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立体几何难题
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
【解答】解：若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1，内或者和对角面平行，同时和CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件．此时过A的直线和BD1，平行即可， 同理体对角线A1C，AC1，DB1，也满足条件．，
则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可， 共有4条． 故选：C．
2．如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：如图，不妨以CD在AB前侧为例．
以O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系， 设AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），则P（0，0，
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），
D（2sinθ，﹣1+2cosθ，0）， ∴Q（∴
设α与AB垂直的向量
，
，0），
，
，则PQ与l所成角为α．
则|cosα|=||=||==．
令t=cosθ（﹣1＜t＜1），则s=令s′=0，得t=8﹣∴当t=8﹣
，
，s′=，
时，s有最大值为16﹣6．
．
则cosα有最大值为∴正切值的最小值为故选：B．
，此时sinα最小值最小为=
．
3．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（ ） ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC； ②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行； ④存在点E使得SE⊥BA．
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