当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2 此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确； 取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；
先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可 ∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确 故选：D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（，+∞） C．（+1，+∞） D．（+1，+∞）
【解答】解：设翻折前的D记为D′，∵AD⊥BC，BC∥AD′，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线AD与BC垂直，只需保证∠DAD′=900，∵∠D′AE=∠DAE，由极限位置知，只需保证∠D′AE≥45°即可．
在△D′AE中，AD′=1，∠D′AE=45°，∠AD′E=120°，则∠D′EA=15°， 由正弦定理知，
，则D′E=
．
因为E为线段CD（端点C，D除外）上的一动点， 则a＞故选：D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣
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，
EC﹣B的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在折叠前的矩形中连接BD交EC于O， ∵BC=4，CD=2，CD=2，DE=1， ∴
，即△BCD∽△CDE，
∴∠DBC=∠ECD， ∴∠DBC=∠ECD，
∴∠ECD+∠ODC=90°，即BD⊥CE， 折起后，
∵BO⊥CE，DO⊥CE，
∴∠BOD是二面角D﹣EC﹣B的平面角， 在△BOD中，OD=BD=
=2
，
=
，
，OB=BD﹣OD=2
﹣
=
，
由余弦定理得cos∠BOD=故选：D．
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12．如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（ ）
A．12 B．24 C．32 D．48
【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC， ∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8， ∴PB=2PA
作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t∈R，
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA ∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2 解得PA2=12﹣4t ∴PM=∴S=
×AB×PM=×6×=3=3≤12
即三角形面积的最大值为12 故选：A．
13．在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=余弦值是﹣A．
，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的
，则该四面体外接球的表面积是（ ）
C．6π D．
B．
【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD， 因为
，所以BD⊥AC，
因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．
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所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B． 在△所以AC=2．
取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC， 过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心， 所以ED=所以BO=
，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是
=
=OA=OS=OC
，所以
，OD=
，
，
所以O点为四面体的外接球球心，
其半径为故选：C．
，表面积为6π．
14．过空间中一定点，作一直线，使其与某正方体六个面所成的角都相等，这样的直线有几条（ ） A．1
B．2
C．4
D．无数条
【解答】解：正方体六个面中，相对的面互相平行． 如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，
研究体对角线BD′与下底面、前面，右面所成的角的关系．
由正方体的结构特征，可知D′D⊥面ABCD，∴BD是 BD′在面ABCD上的射影． ∴∠D′BD是 BD′与面ABCD所成的角． 同理∠D′BA′是 BD′与面A′B′BA所成的角 ∠D′BC′是 BD′与面B′C′CB所成的角．
由直角三角形全等的HL判定定理，可知△D′BD≌△D′BA′≌△D′BC′，
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∴∠D′BD=∠D′BA′=∠D′BC′．
所以对角线BD′与下底面、前面，右面所成的角相等， 从而对角线BD′与正方体六个面所成的角都相等．
同样证明得出其余三条体对角线也与正方体六个面所成的角都相等．
所以过空间一点且与体对角线平行的直线与正方体六个面成等角．共有4条． 故选：C．
15．如图，边长为3正方形ABCD，动点M，N在AD，BC上，且MN∥CD，沿MN将正方形折成直二面角，设AM=x，则点M到平面ABC的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，过M作ME⊥AC，垂足为E，则ME⊥平面ABC， 在△AMC中，
=
=
当且仅当，x=3﹣x，即故选：B．
时，ME的最大值为
16．正三棱锥P﹣ABC内接于半球O，底面ABC在大圆面上，则它相邻的两个侧
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