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中考数学专题复习之圆
一、知识点
1、与圆有关的角——圆心角、圆周角 （1）图中的圆心角；圆周角； ACO（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB=度； B（3）在上图中，若AB是圆O的直径，则∠AOB=度； 2、圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线； 圆是中心对称图形，对称中心为． （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E ∴= ，= 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆； 例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d， （1）当d=2厘米时，有dr，点在圆 （2）当d=7厘米时，有dr，点在圆 （3）当d=5厘米时，有dr，点在圆 ACDOEB4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相． 例2：已知圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的距离为d， （1）当d=10厘米时，有dr，直线l与圆 （2）当d=12厘米时，有dr，直线l与圆 （3）当d=15厘米时，有dr，直线l与圆 5、圆与圆的位置关系： 例3：已知⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为 d， 则：R+r=， R－r=；
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（1）当d=14厘米时，因为dR+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （2）当d=2厘米时， 因为dR－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （3）当d=15厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （4）当d=7厘米时， 因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （5）当d=1厘米时， 因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： 6、切线性质： 例4：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO=度 （2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点， 则=，∠=∠； OAPB7、圆中的有关计算 （1）弧长的计算公式： 例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？ 解：因为扇形的弧长=(??????????????????????) 180(??????????????????????)所以l== (答案保留π) 180（2）扇形的面积： 例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？ 解：因为扇形的面积S= (??????????????????????) 360(??????????????????????)所以S== (答案保留π)
360②若扇形的弧长为12πcm，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少？
解：因为扇形的面积S=
所以S==
（3）圆锥：
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例7：圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少？ 解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积=
8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点； 例8：画出下列三角形的外心或内心 （1）画三角形ABC的内切圆， （2）画出三角形DEF的外接圆， 并标出它的内心； 并标出它的外心 D A EFCB 切割线定理：设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA·PB 割线定理：直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 相交弦定理：若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD；若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA·PB（相交弦定理推论） 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角） 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 ∴∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。
射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)2=BD·DC, (2)(AB)2=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。等积式 (4)AB·AC=BC·AD
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二、例题解析 1、如图所示,有一直径是1米的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90 °的扇形ABC.求:(1)被剪掉的阴影部分的面积;(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?(结果可用根号表示) ABOC 2、如图是某学校田径体育场一部分的示意图,第一条跑道每圈为400米, 跑道分直道和弯道,直道为长相等的平行线段,弯道为同心的半圆型,弯道与同心的半圆型,弯道与直道相连接.已知直道BC的长为86.96米,跑道的宽为1米(?=3.14, 结果精确到0.01) (1)求第一条跑道的弯道部分?AB的半径; (2)求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米? (3)若进行200米比赛,求第六道的起点F与圆心O的连线FO与OA的夹角∠FOA的度数.
3、“6”字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，OB与小⊙O相交于A，
CD∥BH∥FM，DH?BH于H，OB?4，BC?6 AD∥BC，设?FOB?30?，
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（1）求证：AD为小⊙O的切线； （2）求DH的长（结果保留根号）.
4、（大连2004）如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE． 求证：∠D = ∠B. 5、如图，已知⊙O的半径为２，弦AB的长为２3，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点（点Ｃ、Ｄ均不与Ａ、Ｂ重合）． （１）求∠ＡＣＢ；（２）求△ＡＢＤ的最大面积． 6、如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连结BD、CD、AC、BD交于点E． （1）请找出图中的相似三角形，并加以证明； （2）若∠D＝45°，BC＝2，求⊙O的面积．
如图，△ABC内接于⊙O，D是弧AC的中点，求证：CD2=DE·DB。
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