内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 §6.4 数列求和
最新考纲 考情考向分析 本节以考查分组法、错位相减法、倒序相加1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 法、裂项相消法求数列前n项和为主，识别出等差(比)数列，直接用公式法也是考查的热点．题型以解答题的形式为主，难度中等或稍难．一般第一问考查求通项，第二问考查求和，并与不等式、函数、最值等问题综合.
1．等差数列的前n项和公式
n?a1＋an?n?n－1?Sn＝＝na1＋d.
2
2
2．等比数列的前n项和公式
na1，q＝1，??
Sn＝?a1－anqa1?1－qn?
＝，q≠1.?1－q?1－q
.
3．一些常见数列的前n项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝
n?n＋1?
2
2
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)． (4)1＋2＋…＋n＝知识拓展
数列求和的常用方法 (1)公式法
1
2
2
2
n?n＋1??2n＋1?
6
.
直接利用等差、等比数列的求和公式求和． (2)分组转化法
把数列转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①②③
111
＝－；
n?n＋1?nn＋1
1?11?1－＝??；
?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?
1
n＋n＋1
＝n＋1－n.
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和． (6)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)f(n)类型，可采用两项合并求解．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝(2)当n≥2时，
1?11?1－＝??.( √ )
n－12?n－1n＋1?
22
3
na1－an＋1
.( √ ) 1－q(3)求Sn＝a＋2a＋3a＋…＋na之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( × )
?1?12
(4)数列?n＋2n－1?的前n项和为n＋n.( × )
2?2?
n(5)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin88°＋sin89°＝44.5.( √ )
(6)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．( √ ) 题组二 教材改编
2．一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10
2
2
2
2
22
次着地时，经过的路程是( ) A．100＋200(1－2) C．200(1－2) 答案 A
解析 第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2)＝100＋2×100×(2
1
－9
－
－9
－9
B．100＋100(1－2) D．100(1－2)
－9
－9
2?1－2?－9
＋2＋…＋2)＝100＋200×＝100＋200(1－2)． －1
1－2
－2
－92
－1－9
3．1＋2x＋3x＋…＋nx1－xnx答案 2－?1－x?1－xnnn－1
＝________.(x≠0且x≠1)
解析 设Sn＝1＋2x＋3x＋…＋nx2
3
2n－1
，①
则xSn＝x＋2x＋3x＋…＋nx，② ①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x＋…＋x1－xn＝－nx， 1－x1－xnx∴Sn＝. 2－?1－x?1－x题组三 易错自纠
4．(2017·潍坊调研)设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于( ) A.
nnn2
nn－1
－nx
nn2＋7n4
2
B.n2＋5n3
2
2n＋3nC.
4答案 A
D．n＋n
解析 设等差数列的公差为d，则a1＝2，
a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.
又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a3＝a1·a6. 即(2＋2d)＝2(2＋5d)，整理得2d－d＝0. 1
∵d≠0，∴d＝.
2
2
22
n?n－1?n27
∴Sn＝na1＋d＝＋n.
2
4
4
5．(2018·日照质检)数列{an}的通项公式为an＝(－1)
n－1
·(4n－3)，则它的前100项之和
S100等于( )
A．200
B．－200
3
C．400 答案 B
D．－400
解析 S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 6．数列{an}的通项公式为an＝ncos 答案 1 008
解析 因为数列an＝ncos
nπ
2
，其前n项和为Sn，则S2 017＝________.
nπ
2
呈周期性变化，观察此数列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，
a4＝4.
故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.
a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，
故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4.
2 0162 017
∴S2 017＝S2 016＋a2 017＝×2＋2 017·cos π
42＝1 008.
题型一 分组转化法求和
典例 (2018·合肥质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)an，求数列{bn}的前2n项和． 解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
nn2＋n2
，n∈N＋.
n2＋n?n－1?2＋?n－1?
2－
2
＝n.
a1也满足an＝n，
故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2＋(－1)n.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(2＋2＋…＋2)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝2＋2＋…＋2，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 2?1－2?2n＋1
则A＝＝2－2，
1－2
2n1
2
2n1
2
2nnnB＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝2
2n＋1
＋n－2.
4
引申探究
本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 由(1)知bn＝2＋(－1)n. 当n为偶数时，
nnTn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]
2－2n＝＋ 1－22＝2
n＋1
n＋1
＋－2；
2
1
2
n当n为奇数时，Tn＝(2＋2＋…＋2)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n] ＝2＝2
n＋1
n－2＋
n－1
2
－n
n＋1
n5－－. 22
n＋1
??2∴T＝?
??2
n＋－2，n为偶数，
2－－，n为奇数.22
nn＋1
n5
思维升华 分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝?
?bn，n为奇数，?
??cn，n为偶数
的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
可采用分组求和法求和．
提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
跟踪训练 等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 2??，n为奇数，
(2)令cn＝?Sn??bn，n为偶数，
设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
解 (1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
??b2＋S2＝10，
由???a5－2b2＝a3，
??q＋6＋d＝10，
得???3＋4d－2q＝3＋2d，
n－1
??d＝2，
解得?
??q＝2，
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2.
5