1?1?1
则＝2?－?， an?nn＋1?1
a1a2
11＋＋…＋ a2 017
??1??11??1－1?? ＝2×??1－?＋?－?＋…＋???
??2??23??2 0172 018??
4 034＝. 2 018
x4?1?＋f?2?＋…＋f?2 016?，则S＝________.
14．设f(x)＝x，若S＝f?????2 017?4＋2?2 017??2 017???
答案 1 008
442解析 ∵f(x)＝x，∴f(1－x)＝1－x＝x，
4＋24＋22＋442
∴f(x)＋f(1－x)＝x＋x＝1.
4＋22＋4
xx1－xS＝f?S＝f?
?1?＋f?2?＋…＋f?2 016?，①
????2 017??2 017??2 017????2 016?＋f?2 015?＋…＋f?1?，②
????2 017??2 017??2 017???
??1?＋f?2 016??＋ ①＋②，得2S＝?f?????
??2 017??2 017???f?2?＋f?2 015??＋…＋?f?2 016?＋f?1?? ??2 017??2 017????2 017??2 017??????????????
＝2 016，
2 016∴S＝＝1 008.
2
15．(2018届衡水联考)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0,6Sn＝an＋3an，
2
2ann∈N＋，bn＝a，若任意n∈N＋，k>Tn恒成立，则k的最小值是( ) an＋1n(2－1)(2－1)118A. B. C．49 D. 749441答案 B
解析 当n＝1时，6a1＝a1＋3a1， 解得a1＝3或a1＝0. 由an>0，得a1＝3.
由6Sn＝an＋3an，得6Sn＋1＝an＋1＋3an＋1.
16
2
22
两式相减得6an＋1＝an＋1－an＋3an＋1－3an. 所以(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0. 因为an>0，所以an＋1＋an>0，an＋1－an＝3. 即数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以an＝3＋3(n－1)＝3n.
22
2an所以bn＝a a(2n－1)(2n＋1－1)n1?81?1
＝n＝?n－n＋1?. n＋1
?8－1??8－1?7?8－18－1?
1111?1
－2＋2－3＋…＋所以Tn＝?7?8－18－18－18－1
11－n＋1?? 8－18－1?
n1?11?1
＝?－n＋1?<. 7?78－1?49
1
要使任意n∈N＋，k>Tn恒成立，只需k≥.故选B.
49
16．(2018·南昌调研)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，任意n∈N＋，2Sn＝an＋an.令bn＝
1
2
anan＋1＋an＋1an，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为
________． 答案 9
解析 ∵2Sn＝an＋an，① ∴2Sn＋1＝an＋1＋an＋1，②
②－①，得2an＋1＝an＋1＋an＋1－an－an，
2
a2n＋1－an－an＋1－an＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.
2
2
2
2
又∵{an}为正项数列，∴an＋1－an－1＝0， 即an＋1－an＝1.
在2Sn＝an＋an中，令n＝1，可得a1＝1.
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴an＝n， ∴bn＝
1
2
nn＋1＋?n＋1?n ?n＋1?n－nn＋1＝ [nn＋1＋?n＋1?n][?n＋1?n－nn＋1]
17
＝?n＋1?n－nn＋111n?n＋1?＝n－n＋1，
∴T1
1n＝1－12＋12－3＋…＋n－1－1n＋1n－1n＋1＝1－1
n＋1
， 要使T1
n为有理数，只需n＋1
为有理数，
令n＋1＝t2
， ∵1≤n≤100，
∴n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数． ∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.
18