高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案
第一章 1.2
写出约束在铅直平面内的光滑摆线
分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.
解： Y X
设s为质点沿摆线运动时的路程，取 =0时，s=0
S=
= 4 a (1
)
上运动的质点的微
设
为质点所在摆线位置处切线方向与x轴的夹角，取逆时针为正，
即切线斜率
受力分析得：
则
=
，此即为质点的运动微分方程。
该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为.
1.3
证明：设一质量为m的小球做任一角度?0的单摆运动
???2r?)?F ??运动微分方程为m(r?????mgsin? ? mr?
?d???gsin给?式两边同时乘以d? r??d?
1?2?gco?s?c ? 对上式两边关于??积分得 r?2??0故c??gcos? ? 利用初始条件???0时?0??-2g?co?由??可解得 ?s?co?s0 l上式可化为-2g?cos??cos?0?d??dt ll01l?0d??两边同时积分可得t??2g??0cos??cos?02g?011?sin2?22?1?sin22?02d?
进一步化简可得t?1l?01d? 2?02??02gsin2?sin2由于上面算的过程只占整个周期的1/4故
l?0T?4t?2g?01sin2?02?sin2?2d?
由sin?/sin?0?sin?
22两边分别对??微分可得cos?2d??sin?02cos?d?
cos?1?sin20sin2? 22??sin故d??2?02cos?1?sin2?02d? sin2??由于0????0故对应的0???
2l?0g?0d?sin2l2g?0?sin?02cos?/1?sin2sin?02sin2?d?
故T?2?02?sin?2?4?2cos?l?d?22?02K?sin故T?4其中
2g?01?K2sin2?通过进一步计算可得
T?2?11?3241?3?5???(2n?1)22nl[1?()2K2?()K???()K??]
22?42?4?6???2ng
1.5
z p点 y x
解：
如图，在半径是R的时候，由万有引力公式， 对表面的一点的万有引力为
, ①
M为地球的质量；
可知，地球表面的重力加速度 g , x为取地心到无限远的广义坐标，
，②
联立①， ②可得：
,M为地球的质量；③
当半径增加 ,R2=R+ ,此时总质量不变，仍为M,
此时表面的重力加速度 可求：
④
由④得：
⑤
则，半径变化后的g的变化为
⑥
对⑥式进行通分、整理后得：
⑦
对⑦式整理，略去二阶量，同时远小于R，得
⑧
则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为：
。
1.6
解：由题意可建立如图所示的平面极坐标系 则由牛顿第二定律可知， 质点的运动方程为
y ?2)?F?mgcos??r??r??m(?????2r?)?mgsin? ??m(r???其中，
e? et ? X B