m' 运动方程为 xtana-g+
n..xcota=0
2.. 即 x=g
....mcotam?m'cotam2
y=-g
m?m'cota
1.26
解 设弹簧原长为Ｌ，在距离左端l处取一质元ｄl，其质量为ｄｍ＝
建立X轴，以平衡位置为坐标原点O。 在某时刻，设物体的位移为ｘ，则质点位移为
mdl。 Ldlx， Ldldxv2dm， 速度为ｖ＝，质元的动能为dEk=
Ldt2整个弹簧的动能为Ｅk弹＝dEk???L01dldx2mm()dl?32LdtL2L?L0dx(dl)()
dt32m'dx2kx2()， 弹簧的弹性势能为Ep?，滑块的动能为Ek物＝
22dt系统的机械能Ek物＋Ep＋Ｅk弹＝常量,
m'dx2kx2m()+则+32dt22L?L0dx(dl)()=常量
dt323mLd2x对上式两边求导，得：[m??(dl)]2+kx=0
L0dt'd2x则2+dtkx=0
Lmm'??(dl)3L011?T2?所以此体系的振动频率f=
k
Lmm'??(dl)3L0
1.27 解：
A,B点运动方程是
Mx’’=-F
My’’=-F F=
因此体系相当于质点受有心引力作用 能量守恒 角动量守恒
1.28
对质点分析可得，绳子拉力不做功，所以能量守恒。 而对于圆柱体的轴线力矩不为零，所以对圆柱轴线角动量不守恒。 如图，以O点为极点建立极坐标，
?2?Fm?r??r?r则可列方程如下
??????F?mr??2r????????arctan还有如下关系式 r2?R21??2 ，依次求导，有r?R1??21?2?R?3??R????arctan? R?? ，rR?1??2? ，????Rr?1??2?1????? ?222?22??2?????， ????? ? ????arctan?，????22221??1??1???? tanx?1?
将力分解可得 Fr??FTcosx??FT将以上代入方程可得
?1??2 F??FTsinx?FT11??2
2?FT?22????????R??R??R1?????31?1??2?m2222??1??1??1??21?2??????12 R1???122?2?2???2???2R???????2?1??22?1????1??2?????2FT???121??m221?1???122
??1???? 化解可得
222???B??0????2??2??B?02?? 其中B?FT mR????????????0 另由? 消B，可得???C 积分可得???d??d???d???0 代入可得?d??2?v ?2?r2?r0?e，所以v??er?r? 又由能量守恒，v?r?v0R2?22?42222????????和?，可得代入r，即 ??R1????v022R1??21?????? 积分??122v02t?C，又由r?0??R?R1???0?，??0??0，C?0 R 所以??2v0tv012v0???2??? ?????? ? ? 代入B?2??R2Rt4Rt22v0mv02v0?1?? ?1?? 所以FT?mRB?mv04RtRt?2?2Rv0tv化简可得B?0R此即所求。
?2?Fm?r??r?r另解 第一问同上，而对于力的求解过程，也有 在任意时
??????Fmr??2r?????刻对速度分解有
vr?v0sinxv??v0cosx?e 而 v?rer?r??Rr22??v0r所以会有
即
??v0rRr??vr?Rr?0r???v0rt0?
22r?R?
r2??v0同时 由于rR 积分 r?rdr?vR?dt 可得
R0r2?R2?2v0Rt
2222222R?r2R?rRv0R?1?2???v????3 ? ? ? ④ r?vr??v0R??2?r03032222r?r?rr?Rrr?Rr而由1、2、3代入径向方程可得
2mv0化简得 FT??222v0Rtr?R2mv02222?v0R2r?R?m???r3?rv0r4????FT??r2?R2r
?22R2?r2RRr2?R2?而由1、2、4代入法向方程可得 mrv0?2v0v02322r?rrrr?R?22mv0mv02R3?r2R?2Rr2?2R3化简得 FT? ?222R2v0Rtrr?R???FR
T?r?
1.31 解：
dvdm?vr??mgdtdtvdmdv ??g?r?dtdtmdmdv??gdt?vrmm设m?m0f?t?
dv??gdt?vrt?0时f?0??1v?c?c?v0故v?v0?vrlnmo?gtmdff积分:v??gt?vrlnf?c
1.34
解：建立竖直向上的坐标z，设软链最高能被提到h。
对重物和软链组成的系统，从开始运动到软链达到最高，有机械能守恒，得
mgh??pzgdz?0h12hg 2p解得h=2m/p。
答：软链最后可提到2m/p处。
1.32 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。 解：设雨滴的本体为m.由物理学知
d(mv)?F. (1) dt1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为r,则雨滴质量m是与半径r的三次方成正比，密度看成是不变的，于是m?k1r3， (2)
其中k1为常数。
2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即
dmdt?k?4?r2?k22r, (3) 其中k2为常数。由(2)，得
dmdt?kr2dr1?3dt. (4) 由(3)=(4)，得
drdt?k23k??. (5) 1对(5)两边积分：?rdr??ta0?dt,得
r??t?a, (6)
将(6)代入(2)，得
m?k1(?t?a)3. 3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式
d[k3dt1(?t?a)3v]?k1(?t?a)g, ?v0d[k1(?t?a)3v]??t0k1(?t?a)3gdt,
k1(?t?a)3v?14?k1g(?t?a)4?k3,（k3为常数） 当t?0时，v?0，故kk41ga3??4?,v?ga44?[?t?a?(?t?a)3]. (7)
(8)