1.35 解：（1）以火箭前进方向建立直角坐标z轴，火箭的位置 r = rk 。设 t=0 时刻 ，火箭的运
dvdmdm??m0g?vr. 又 ?km0 ， 动微分方程为： m0dtdtdtdv??m0g?km0vr , 可得： m0dtdv?0 ，即 ?m0g?km0vr?0 ，?kvr?g 。 要使火箭能够起飞，须满足：m0dtdv??m'g?km0vr， （2）设 t 时刻 火箭的质量 为 m' ，其运动微分方程：m'dt又 m'?m0?km0t ，代入得 ： dv?(?g?kvr)dt 1?kt两边积分得： v??gt?vrln(1?kt)
由（1）可知火箭在燃料消耗完之前一直在加速，直至燃料消耗完时 速度达到最大，记为vm。 设燃料消耗完所用时间 为t0，由 m0?km0t0?m 得：t0?1m(1?)。 km0则 ： vm??mgm(1?)?vrIn0。 km0mtvdr1?v 得：r??vdt ?r??gt2?r?(1?kt)(In(1?kt)?1)?1? 在0到t0这段时间， 由 dt2k0当t=t0时，得： r1???gm2vr?mm(1?)?(In?1)?1?? 2m0k?m0m02k?12对火箭从速度vm减到0 这一过程由动能定理得：?mgr2?0?mvm
2vmmvvgmm?r2?m?r(In0)2?2(1?)2?rIn0(1?)
2g2gmm0kmm02kmmvvm则火箭上升的最大的高度 h?r1?r2?r(In0)2?r(1??In0)。
2gmkm0m
1.36
解:（1）如图所示，建立直角坐标系x-o-y-z，假设两质点m1,m.初
O，终
2221.2ml?U(x,y,z)点在（x,y,z).由能量守恒定律得：2
得到：l?[2U(x,y,z)].12
12tm?积分得到
l0dl?[2U(x,y,z)dt]?m
0故得到;t?l/2U(x,y,z)[]m12
解得到：
t1t?mm1
1212（2）若势能乘上常数a,则：
t1?l/[2aU(x,y,z)，而2U(x,y,z)t?[]]mm
所以：
t1t?1 a1.37
yAA上升的最大位置弹簧原长0IvAA的初始位置AA下降的最低位置B状态1B状态2图1 A、B运动过程图B状态3 解：若B刚好可以弹起，则当A上升的最高点时，B所受的平面支持力刚好为0，画图临界过程如图1所示。以竖直向上为y轴，弹簧的初始位置为y轴原点。 由状态3得：
mbg?ky3
y3?mbg k由状态1得：
?mag?ky1
?y1?mag k从状态2到状态3，更具能量守恒定律得：
1212ky2?ky3?mag(y1?y2) 22y3?y1?y1?y2
?y2?(2ma?mb)g
k由状态1到状态2应用能量守恒定律得： 121212ky2?ky1?mag(y1?y2)?mava 222将y1，y2，y3带入化简得
(ma?mb)22mv?g
k2aa所以：I?mava?ma?0?(ma?mb)g
1.38
ma k解：由动量守恒定理和动能定理得：
〔m′+2m〕v′=m′v
m′gh=0.5〔2m+m′〕v×v+m′gH 0.5m′v×v=m′gH 解之得：
H=h【1-m′/2(m+m′)】 即此人的重心可以升高H
第二章
2.2
解：以碗的球心为坐标原点建立球坐标系：
则r=Rer+zk
?r=?Rer+R?φ eφ+?zk
r=Rer+R? eφ+zk
??????r=R er+2R? eφ+ R? eφ- R?? er+zk
=(R- R??) er+(2R?+ R?) eφ+zk
????????????????????F=-mgk
带入达朗贝尔方程得：
m[-gk-(R- R??) er+(2R?+ R?) eφ+zk]? (?Rer+R?φ eφ+?zk)=0
??????????化简得：
????z???-RR?z??z?g?0 ???????R??2R??02.5
解：质点在铅直平面内运动，自由度为1，以小孔为坐标原点o建立平面极坐标系，竖直向下为极轴的正方向，以?为广义坐标，设以速度v0拉绳的A端，从小孔到质点的原长为L0，以原点所在平面为零势能平面，其动
?21112222T=m(vr?ve)=mv0?m（L0—v0t）? 222
V=-mg（L0—v0t）cos? L函数：
?21122L=T-V=mv0?m（L0—v0t）? +mg（L0—v0t）cos?
22则
?L????m（L0—v0t）?
2????d?L2(?)= m（L0—v0t）?-2mv0?（L0—v0t） dt???L?-mg（L0—v0t）sin? ??代入L方程，得运动微分方程为
m（L0—v0t）?-2mv0?（L0—v0t）+mg（L0—v0t）sin?=0
2???2.10
解： v=r?er?r?e?
2?r=R1??1T=mR2e
r?2以?为广义坐标
??2