由V????r??r可知，?V??r2?rr2??VLr2dr2????d???2m(E?V（r）)?LLr2
???????V?
L22m(E?)?2rr?当?V??rL?时，????2当?V??r3时，????L22m(E?)?2rrL??r?r3?L22m(E?)?2rr?r2??r?2???3.11解：因为是椭圆
设
因为：
因为E为恒量，所以
所以结论成立
3.16解：由题意得被俘获时
A?1?2m3dVm4d2VL2rdr?L2rdr2?0
又V???r2,L=mvb
代入可得
b?2?m2 rv无穷???b2??(2?m2)
rv无穷?3.20 解：??=
v?×L???rr ?=v?×（?r×mv?）+?rr
=r (v?.mv?)-mv?(v?.r?)+?r??r
因为r??=re?????r v=rer+r?e? 所以上式=mv2r?- mv? (v?.r??)+?er
? =m(r2+r2???2)re????????r-m(rer+r?e?)[(rer+r?e?) r? =mr32???e2r+?er-mrr????e?
??er]+?er
=L??2+?er-Lre? ermr??????rLL????Lr)e 则d?=(Lr?-)er+(?mrmr????2?2??2由在中心势场中角动量守恒可知L=mr? 可知 Lr?-L?2??2r2?mr=0
2?1又有能量守恒E=mr2?L2?
r22mr? dE=mrr-
???Lmr2r?3??r?r2=0 即-???? 等式两边同乘以-2?LLmrmr（mrr-????Lmr2r?3??r?r2）=0
?得 L????Lr=0
mr由以上可知d?=0，即?是常矢量，方向沿极轴方向 3.21 解：（1）. ???d??? 代入v???/??L/rdr2m[E?v(r)]?L/r222
r2(??0)，得：
2???L/rdr2m(E??/r)?L/rdu222??L?d(1/r)2mE?(2m??L)/r222
令u=1/r,则：
???L?I．
(2m??L)U?2mE22
当2m??L?2时,
???Ldu2mEL2?L/?u2?2m?L2?2m?arccos(L2?2M?2mEu)?c
L2?2m?选择适当的?，使c=0，则u?1/r?2mEL2?2m?cos(1?2m?/L?)
2II．
当2m??L?2时，
???L2m??L2duu2?2mE2m??L2??L2m??L2mE2arcsh(2m??L2mE2u)?c
选择适当的?，使c=0，则u?1/r?2m??L2sh(2m?/L?1?) 222（2）.因为有效势场
veff?v(r)?L/2mr?2L?2m?22mr，
所以，当L?2m?时，即存在一个临界角动量Lc?2m?，粒子将被力心俘获
3.22 解：由书公式（4.4）知A即为?2
则显然若要质点的轨道运动稳定，须有Ａ=?2?0 又由公式（４.６）可得
2m3m4dF2m?r2m?r2m?r2A?1?2rF(r)?2r?1???1??0 222LLdrLLL所以该质点作稳定振动的频率为
?1f??2?2?2mv0
L2?m?r02L2?m?r02?2L2?L
V0 θO R A 3.23 （1）FN???mgsin?
Ft?mat?mgcos?
得??1R23R?，at?g
2sin?3（2）能量E??
GMm112?mv0??mgR（黄金代换GM?gR2） R221由于E??mgR?0，
2所以轨道为椭圆的一部分， 且L?
GMm3(??GMm?mgR2)， mgR3，V(r)??r2根据书上已得结论，物体运动所在的轨道方程是：
r?p，
1?e?cos?
L232EL21?R，e?1?其中p??， 224m?2m?易得轨道方程为：
r?3R，
2(2?cos?)3RR，即物体距地的最远距离为 22当???时可得，最远距离rmax?由机械能守恒可得：
E??3RGMm121 ?mv1??mgR，rmax?2rmax22得当物体距离地球最远时的速度为：
v1?3gR 3（3）当在最远处的运动物体的质量变为原来的一半，由动量守恒易得：
??2v1 v1E???GMm11?2?mgR?0， ?mv1rmax23所以之后的轨迹为双曲线的一支，
L??335mgR3，p??R，e?
422
轨道方程为r?3R2(2?5cos?)
3.24 解：以质心为坐标原点建立极坐标系，则
m'?…………………………………………………………………（1）
m?m'm? m’ 到质心的距离为：r'?m?m'm到质心的距离为：r?