???V,r0?L,r?L?Vt r
1.8
设质点在平面内运动的加速度的切向分量和法向分量都是常数，证明质点的轨道为对数螺线。
解：设，质点的加速度的切向分量大小为，法向分量大小为。(其中、为常数)则有
其中为曲率半径。 由
式得
其中是
初始位置，
是初始速度大小。
把式代入式得
由式
对
式积分则得
其中
是初始角大小。我们把
式转化为时间关于角的函数
将
式代入
式，于是得质点的轨道方程
当我们取一定的初始条件
时，令
。方程可以简化为
即质点的轨迹为对数螺线。
11 ○
1.9
解：（1）从A点到原长位置，此时间内为自由落体运动。
根据能量守恒：mgl1?1mV2, 所以在原长位置时：V1?2gl1 2因为加速度为g，所以，到达原长的时间为: t1?
V2?02l1 ?gg（2）从原长位置到最低点D处，以原长位置为坐标原点，向下为正方向，建立坐标轴Z。
?z?mg?kz?m?? kl?mg?2??化简得： ?zgz?g l2解微分方程得： z?C1cosggt?C2sint?l2 l2l2??V1?因为t=0时，z=0, z22gl1
所以, z??l2cos
gggg??gl2sint?2l1l2sint?l2,zt?2gl1cost
l2l2l2l2l22l1(??tan?1),此时z?l2(l2?2l1)?l2 gl2??0时，t2?当z
（3）所以总时间为
t?t1?t2?
2l1l2l1?2(??tan?1) ggl2A,D间总距离为 s?z1?z2?l1?l2?l2(l2?2l1)
1-11
解：（1）质点运动分为三个阶段。第一阶段为圆周运动，从释放质点到绳子张力为零；第二阶段为斜抛运动，重新下降到与圆周相交位置时有一绷绳过程，质点机械能转化为绳子内能；第三阶段为在最低点附近的摆荡运动。总体来看质点能量不守恒。 （2）第一阶段，由能量守恒可得，
1mgr(1?cos?)?mv2，?
2又，由绳子张力为零可知
v2mgcos??m，?
r第二阶段，设上升高度为h，则
(vsin?)2，? h?2g2322323r，cos??；h?rcos??r?l 273275423因此质点上升最高处为o'点上方l处。
54设斜抛到达最高点时水平位移为s，则
联立?、?、?可解得h=
454555r=l;rsin??s?l s?(vcos?)t?vcos?(vsin?)，s=
g275454因此质点上升到最高点时在过圆心竖直轴线左边
55l处。 541-12
解: 由自然坐标系
即 ∴ ∴
∴ ∴ ∴ ∴ ∴
1.13. 解：
（1）以竖直向下为正方向，系统所受合力对O点，
合力矩为零，
,,故系统动量不守恒；
过矩心，故力矩也为零，所以系统角动量守恒；
而对系统来说，唯一做功的是重力（保守力），因此，系统能量守恒。 （2）建立柱面坐标系，由动量定理得：
同时有得到：
(3)对于小球A，设其在水平平台最远距离o为r 由动能定理得：
由角动量守恒得：