1L=T=mR
2??2?2?2
?L????mR??
?2??d?L2?mR2???mr?? ?dt???2?L?mR?? ???2???2d?L?L2?mR2???mr??=?mR?? ?dt????2.13
解：由杆AC，DG力矩平衡：
?P?FG?F1?EF?F2?DF ?(P'?F')?AB?F'?AC12?又有F1＝ F1’， F2＝ F2’
?P?FG?F1?EF?(P'?F1)?DFAC?， EFAB则有：P?FG?P'?EF
若有
ABDF AC即秤锤的重量P与重物P’在秤台的位置无关，且P'?PFG EFDF2P'ABF'2 EF1F'1F2.16
C解：设A(0,yA) , B(x,y) 则由给出的方程可知
l?l2?x2 y=
2 且由该方程分析可知，有y< l?l2?x2 又由AB=2l可知，yA=4l?x? 222l2y?yA4l2?x2?l?l2?x2 因此可得V=mg?=mg? 22 所以由 dVxx?0可得 ?2222dx4l?xl?x 显然等式两边的分母不可能相等，则只有认为x=0 即当杆竖直时(此时B点即在坐标原点)，该杆才处于平衡位置 2.16 如图所示建立直角坐标系xoy,取y为广义坐标，A（x,y） 由题意可得系统的势能为 V?mg(124l2?x2?y)，由于约束条件：x2?(x?2y)2?l2 得到V?mg(l2?y2?yl?y) dV2y?l?2l2?y2?yldy?mg222?0 l?y?yl可以得到：（l?2y）2?4(l2?y2?yl) 无解 故可以得到无满足平衡的位置。 2.17 解：该力学体系有2个自由度，如图所示： 以?，?为广义坐标，以过圆心的水平面为则两根杆的势能分别为： Vr1?mg(sin?cos??lcos(???)),V?mg(r2sin?cos??lcos(???)), 体系的总势能为：V?V1?V2 由 ?V???0及?V?rcos????2mgcos?(sin?2?lsin?) 当??0时，得到：ltan?3?rtan?2?r?0 。 2.19 解：以O为圆心建立直角坐标系，由于体系是理想完整约束体系， 且约束力是保守力。 得：V?2plcos??12k(2lsin?4?2lcos?)2 化简得：V?2plcos??12kl2(2?2cos?)2 由?V???0得：?2plsin??kl2(2?2cos?)sin??0 零势能面。 ???0?sin??0 得：cos?? 2p ?22kl 2.19 解：取?为广义坐标，以O为原点，弹簧所在直线为y轴建立直角坐标系，设弹簧固有长度为 y0,则y0=2lcos?=2l. 1系统势能V=2mglcos?+k(2lcos??2l)2?Plcos??k(2lcos??l)2 2由拉格朗日方程理论质点系平衡方程知: ?V?V?-2Plsin??2k(2lcos??l)(?2lsin?)=0 ?0,则有???q?解得:cos??2P. ?22kl2.20 解：（1）对于半无界均匀场，假设无界场以x轴为边界，则空间对x轴平移不变，所 以x轴方向的动量守恒； （2）对于两点场，若以两点连线为z轴，则绕z轴转动不变，所以绕z轴转动的角动量守恒； （3）对于均匀圆锥体的场，则绕z轴转动不变，所以绕z轴转动的角动量守恒； （4）对于无限均匀圆柱螺旋线场，则 守恒。 2.21 解： 如图：以θ为广义坐标 m?2?w2sin2?) T?R2(?2V?mgRcos? m2?2R(??w2sin2?)?mgRcos? 2代入拉格朗日方程，得 L?T?V???2?(Rw2sin?cos??gsin?)???0 R?由于拉氏函数不显含时间，且约束稳定，故广义能量守恒，即 H?p?q??L?const H?m2?2R(??w2sin2?)?mgRcos??const 22.23 解：体系为带电粒子，采用柱坐标。 ?2?2?212体系动能为，T?m(R?R??z) ； 2R'体系势能为，V???EqdR???R0E0q'R0dR?Eqln，其中R0为零势能位置； 0'RRR0R?2?2?2R12体系拉格朗日函数为，L?T?V?m(R?R??z)?E0qln0。 2R该体系约束不完整，可直接采用牛顿力学分析受力来求运动微分方程： m(R?R?)?Eq?BqR?；m(R??2R?)??BqR；mz?0。 2BqR?0E0mR???常数q?B0qR??0；整理可得：mR?mR??；mz?常数。 2R???2?2????2????????2.25 解：因为： 所以： 所以： 因为瞬时改变时，速度不变 所以： 所以：