专题六 高考中的概率与统计问题
1．(2013·安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 答案 C
1
解析 x男＝(86＋94＋88＋92＋90)＝90，
5
1
x女＝(88＋93＋93＋88＋93)＝91，
5122222s2男＝[(86－90)＋(94－90)＋(88－90)＋(92－90)＋(90－90)]＝8， 5
122222s2女＝[(88－91)＋(93－91)＋(93－91)＋(88－91)＋(93－91)]＝6. 5
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( ) A．0.6 C．0.3 答案 C
解析 ∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2， P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
1
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
2
3．(2012·上海)设10≤x1 x1＋x2x2＋x3x3＋x4x4＋x5x5＋x1 均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2.若记 22222D(ξ1)、D(ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差，则 A．D(ξ1)>D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1) ( ) B．0.4 D．0.2 ( ) D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 答案 A 解析 E(ξ1)＝0.2x1＋0.2x2＋0.2x3＋0.2x4＋0.2x5 ＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)． x1＋x2x2＋x3x5＋x1 E(ξ2)＝0.2×＋0.2×＋?＋0.2× 222＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)． ∴E(ξ1)＝E(ξ2)，记作x， ∴D(ξ1)＝0.2[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(x5－x)2] 222 ＝0.2[x21＋x2＋?＋x5＋5x－2(x1＋x2＋?＋x5)x] 222＝0.2(x21＋x2＋?＋x5－5x)． 同理D(ξ2)＝ x1＋x2?2?x2＋x3?2x5＋x1?2 0．2??＋＋?＋?－5x2?. ??2??2??2?? 2222 x1＋x2?2x1＋x2x5＋x1?2x5＋x1∵?<，?，?2?2??2?<2. x1＋x2?2?x2＋x3?2x5＋x1?222222∴?＋＋?＋??2??2??2? 4．(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 1137A. B. C. D. 4248答案 C 解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为 0≤x≤4?? x、y，x、y相互独立，由题意可知?0≤y≤4 ??|x－y|≤2 ( ) ，如图所示．∴两串彩 灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝ 1 4×4－2××2×2 2S正方形－2S△ABC123 ＝＝＝. 164S正方形4×4 5．(2012·重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)． 3答案 5 解析 6节课随机安排，共有A66＝720(种)方法． 课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类： 第1类：文化课之间没有艺术课，有A3A43·4＝6×24＝144(种)． 13第2类：文化课之间有1节艺术课，有A3C1A2·A3＝6×3×2×6＝216(种)． 3·3· 第3类：文化课之间有2节艺术课，有A3A2A23·3·2＝6×6×2＝72(种)． 共有144＋216＋72＝432(种)． 4323 由古典概型概率公式得P＝＝. 7205 题型一 求事件的概率 例1 某项专业技术认证考试按科目A和科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格 2 方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每 3 1 次考试成绩合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否互不影响． 2(1)求他不需要补考就可获得证书的概率． (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别参加2次、3次、4次考试的概率． 思维启迪 准确地分析事件类型，正确地运用概率公式，是解决这类问题的关键． 解 设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2，“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2，则A1，A2，B1，B2相互独立． (1)设“不需要补考就可获得证书”为事件M， 211 则P(M)＝P(A1B1)＝P(A1)P(B1)＝×＝. 323(2)设“参加考试次数为2次、3次、4次” 分别为事件E，C，D.则P(E)＝P(A1B1＋A1 A2) 21114 ＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(A2)＝×＋×＝， 32339P(C)＝P(A1B1B2＋A1B1 B2＋A1A2B1) ＝P(A1)P(B1)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(B2)＋P(A1)P(A2)·P(B1) 2112111214＝××＋××＋××＝， 3223223329P(D)＝P(A1A2B1B2＋A1A2B1 B2) ＝P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)＋P(A1)P(A2)P(B1)P(B2) 121112111＝×××＋×××＝. 332233229 441 (另解：P(D)＝1－P(E∪C)＝1－P(E)－P(C)＝1－－＝)． 999 思维升华 (1)一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行 求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题时常常用这种方法求解． (2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解． 某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答 一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题连 1 续两次答错的概率为(已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响)． 9(1)求选手甲回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可进入决赛的概率． 解 (1)设选手甲答对一个问题的正确率为P1， 1 则(1－P1)2＝， 9 2 故选手甲答对一个问题的正确率P1＝. 3 28 (2)选手甲答了3道题目进入决赛的概率为()3＝； 32722128 选手甲答了4道题目进入决赛的概率为C2； 3()··＝33327 2212216 选手甲答了5道题目进入决赛的概率为C2()·＝. 4()·33381 881664 ∴选手甲可以进入决赛的概率P＝＋＋＝. 27278181题型二 求离散型随机变量的均值与方差 例2 李先生家在H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如 1 图)，路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线L2上有B1， 2 33 B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，. 45 (1)若走路线L1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望； (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由． 思维启迪 走L1或L2遇到红灯的次数都是独立重复试验问题，可结合二项分布求其概率，选何条路线是要利用均值的大小判定．注意三个转化： (1)转化为P3(1)＋P3(0)的值； (2)X可取0,1,2转化为独立事件的积事件的概率； (3)转化为比较E(X)、E(Y)的大小． 解 (1)设“走路线L1最多遇到1次红灯”为事件A， 1?31?2111??则P(A)＝C0×＋C××＝. 33?2?2?2?2 1 所以走路线L1最多遇到1次红灯的概率为. 2(2)依题意，知X的可能取值为0,1,2. 3311－?×?1－?＝， P(X＝0)＝??4??5?10 33393 1－?＋?1－?×＝， P(X＝1)＝×?5??4?5204?339 P(X＝2)＝×＝. 4520随机变量X的分布列为 0 1 P 1019927所以E(X)＝×0＋×1＋×2＝. 1020202013 E(Y)＝3×＝. 22 因为E(X) 思维升华 注意此题中独立重复试验与独立事件的区别，如走L1是独立重复试验，而走L2是一般地独立事件问题，不可按二项分布求均值． 解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率． (2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润 与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 首次出现故障时间x(年) 轿车数量(辆) 每辆利润(万元) 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率． (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列． (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由． 甲 0 3，?，所以(3)设选择路线L1遇到红灯的次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即Y～B??2?