解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B，“有一道题不理解题意”选对为事件C，
111
∴P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
234
11111
∴得60分的概率为P＝×××＝. 223448(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60.
11231
P(ξ＝40)＝×××＝；
22348
11231113112117
P(ξ＝45)＝C1； 2××××＋×××＋×××＝22342234223448
1123111312111111711P(ξ＝50)＝×××＋C1； 2××××＋C2××××＋×××＝223422342234223448
1111112111137
P(ξ＝55)＝C1； 2××××＋×××＋×××＝22342234223448
11111
P(ξ＝60)＝×××＝. 223448ξ的分布列为
ξ P(ξ) 40 1 845 17 4850 17 4855 7 4860 1 481171771575
E(ξ)＝40×＋45×＋50×＋55×＋60×＝.
84848484812
中档题目强化练——概率与统计(理)
A组 专项基础训练
一、选择题
1．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为 179A. B. 4120答案 C
11解析 基本事件的总数是C3在三种门票中各自选取一张的方法是C1故随机事件10，5C3C2，
11C115C3C25×3×2
“选取的3张中价格互不相同”的概率是3＝＝，故其对立事件“选取的3
C10120413
张中至少有2张价格相同”的概率是1－＝.
44
( )
3C. 423D. 24
2．已知ξ的分布列如下表，若η＝2ξ＋2，则D(η)的值为 ξ －1 1 20 1 320D. 9
1 1 6 ( )
1
A.－
3答案 D
5B. 9
P 10C. 9
1111
解析 E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，
23631111115－1＋?2×＋?0＋?2×＋?1＋?2×＝， D(ξ)＝?3?2?3?3?3?69?
20
∴D(η)＝D(2ξ＋2)＝4D(ξ)＝，故选D.
9
3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是 A．0.216 答案 D
解析 由题意知，甲获胜有两种情况， 一是甲以2∶0获胜，此时P1＝0.62＝0.36； 二是甲以2∶1获胜，
此时P2＝C12×0.6×0.4×0.6＝0.288， 故甲获胜的概率P＝P1＋P2＝0.648.
2x－y＋2≥0，??
4．已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域?x－2y＋1≤0
??x＋y－2≤0
( )
B．0.36 C．0.432 D．0.648
内的概率为( )
3A. 16答案 B
3B. 8
3C. 4
3D. 2
1
解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为×3×2
2
133－×3×1＝，则所求概率为. 228
5．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0 解析 显然n位同学参加某项选拔测试可看做n次独立重复试验，其中没有一位同学能通过测试的概率为(1－p)n，故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n. 二、填空题 V6．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的3概率是________． 2答案 3 VS－APC1 解析 由题意可知>，如图所示， VS－ABC3三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同， VS－APCS△APCPM因此＝＝ VS－ABCS△ABCBNAP12＝>(PM，BN为其高线)，故所求概率为. AB33 7．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________. 2答案 3解析 两封信投入A，B，C三个空邮箱，投法种数是32＝9， 4 A中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为， 9 4 A中仅有一封信的投法种数是C12×2＝4，概率为， 9 1 A中有两封信的投法种数是1，概率为， 9故A邮箱的信件数ξ的数学期望是 4412×0＋×1＋×2＝. 9993 8．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ<1)＝0.841 3，则P(－1<ξ<0)＝________. 答案 0.341 3 解析 ∵ξ～N(0,1)， B．1－pn D．1－(1－p)n ( ) 1－2[1－P?ξ<1?] ∴P(－1<ξ<0)＝P(0<ξ<1)＝ 2＝0.341 3. 三、解答题 ????x＋2? 9．已知集合A＝{x|x＋3x－4<0}，B＝?x?<0?. ??x－4??? 2 (1)在区间(－4,5)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率； (2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a－b∈A∪B”的概率． 解 (1)由已知得A＝{x|x2＋3x－4<0} ＝{x|－4 ????x＋2?B＝?x?<0?＝{x|－2 ??x－4??? 显然A∩B＝{x|－2 31 由几何概型的概率公式得P1＝＝. 93 (2)依题意，(a，b)的所有可能的结果一共有以下20种： (－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)， 又A∪B＝{x|－4 因此“a－b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下14种： (－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)． 147 所以“a－b∈A∪B”的概率P2＝＝. 2010 10．随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此某市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下： ①租用时间不超过1小时，免费； ②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分； ③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分； ④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算)． 甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2. (1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率； (2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解 (1)设甲、乙所扣积分分别为x1，x2，由题意可知， P(x1＝0)＝0.5，P(x1＝1)＝0.4，P(x1＝2)＝1－0.5－0.4＝0.1， P(x2＝0)＝0.6，P(x2＝1)＝0.2，P(x2＝2)＝1－0.6－0.2＝0.2， 所以P(x1＝x2)＝P(x1＝x2＝0)＋P(x1＝x2＝1)＋P(x1＝x2＝2)＝0.5×0.6＋0.4×0.2＋0.1×0.2＝0.4. (2)由题意得，变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4. P(ξ＝0)＝0.5×0.6＝0.3， P(ξ＝1)＝0.5×0.2＋0.6×0.4＝0.34， P(ξ＝2)＝0.5×0.2＋0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.24， P(ξ＝3)＝0.4×0.2＋0.2×0.1＝0.1， P(ξ＝4)＝0.1×0.2＝0.02， 所以ξ的分布列为 ξ P 0 0.3 1 0.34 2 0.24 3 0.1 4 0.02 E(ξ)＝0×0.3＋1×0.34＋2×0.24＋3×0.1＋4×0.02＝1.2. B组 专项能力提升 111 1．三人独立破译同一个密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为、、，且他们是否 543破译出密码互不影响，设“密码被破译”的概率为P1，“密码未被破译”的概率为P2，则P1，P2的大小关系为 A．P1>P2 C．P1 解析 记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i＝1,2,3)， 111 依题意有P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 543且A1，A2，A3相互独立． 设“密码未被破译”为事件B， 则B＝A A3，且A1，A2，A3互相独立， 4322 故P2＝P(B)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝××＝， 5435 1 2 ( ) B．P1＝P2 D．无法判断 A