2＋31
解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝. 5010(2)依题意得，X1的分布列为 X1 P X2的分布列为
X2 P 139(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3× 255010
143
＝＝2.86(万元)， 50
19
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
1010因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车． 题型三 概率与统计的综合应用
例3 (2013·课标全国Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位： t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
1.8 1 102.9 9 101 1 252 3 503 9 10
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T的数学期望．
思维启迪 利润T是由两部分构成的，一个是获得利润，另一个是亏损，是否亏损与x的取值范围有关，因此，T关于x的函数要用分段函数表示． 解 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
??800X－39 000，100≤X<130，
所以T＝?
?65 000，130≤X≤150.?
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为 T P 45 000 0.1 53 000 0.2 61 000 0.3 65 000 0.4 所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据
模糊，无法确认，在图中以X表示．
甲组 乙组 9 1 9 1 0 1 X 0 8 9 (1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．
1
(注：方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，?，xn的平均
n数)
解 (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数
8＋8＋9＋1035x＝＝；
44方差 13535353511s2＝[(8－)2＋(8－)2＋(9－)2＋(10－)2]＝.
4444416
(2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)21＝＝. 168
1111
同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝.
4448所以随机变量Y的分布列为
19 20 11 P 4411111E(Y)＝17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19.
84448
Y 17 1 818 1 421 1 8
1．(2013·广东)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
1 2 3
7 9 0 0
1
2
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 解 (1)样本平均值为
17＋19＋20＋21＋25＋30132
＝＝22.
66
21
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为＝，
631
故推断该车间12名工人中有12×＝4名优秀工人．
3
1C14C8(3)设事件A：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P(A)＝2C12
16＝. 33
2．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C3从10件产品中任取3件，其中恰有10，
3kk件一等品的结果数为Ck3C7(k＝0,1,2,3)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件
3－kCk3C7
一等品的概率为P(X＝k)＝3，k＝0,1,2,3.
C10
－
所以随机变量X的分布列是 0 1 2 3 72171 P 244040120721719X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
24404012010
X
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等
2C133C3品”为事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝3＝.P(A2)
C1040
71
＝P(X＝2)＝.P(A3)＝P(X＝3)＝，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数
40120
37131
的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 40401201203．甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已
2
知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是.
3(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．
2C1414C2解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A，B，则P(A)＝3＝＝，
C6205
22221
P(B)＝(1－)3＋C23(1－)() 333127＝＋＝， 27927
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
17128
1－P(A B)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝. 527135(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.
2C14C21
P(ξ＝1)＝3＝，
C6513C24C2＋C44
P(ξ＝2)＝＝，
C356则ξ的分布列为
ξ P 1 1 52 4 54.如图，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看做有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．
解 (1)依题意及频率分布直方图知1×(0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39)＝1，解得x＝0.12. (2)由题意知，X～B(3,0.1)．
022
因此P(X＝0)＝C3×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C1P(X＝2)＝C23×0.1×0.9＝0.243，3×0.1×0.9
＝0.027，
3P(X＝3)＝C33×0.1＝0.001.
故随机变量X的分布列为 X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001 X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.
5．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．
解 (1)方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有
C22284·22
C4·2种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为4＝. 327方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验． 1
记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝. 3
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为
?1?2?2?2＝8. P4(2)＝C243???3?27
31
(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝4＝，
327
21322
C3?C2C4＋C4C2?14
P(ξ＝2)＝＝ 342724
－2?14??或P?ξ＝2?＝C3?24＝， 327??
3121
C24C3C4C24?4A3P(ξ＝3)＝＝?或P?ξ＝3?＝34＝9?4?. 39综上知，ξ的分布列为
1 1 P 27114465从而有E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
2727927
ξ 2 14 273 4 96．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；
(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．