理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1．C 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C． 9．A 10.D 二．填空题：
11．0.2； 12．3； 13．15； 14．2ln2； 15． {?|??2n?1,n?N*}．三、解答题：
16．解法一：（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG,FG，
则FG//BE，且FG?1BE，?????2分 2又BE//CD，∴FG//CD且FG?CD， 所以四边形FGCD是平行四边形，
则DF//CG， ??????5分 又因为CG?平面ABC，DF?平面ABC， 所以DF//平面ABC． ???????6分
（Ⅱ）依题得，以点B为原点，BA,BC,BE所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，
G z F(1,0,1)，
所以BD?(0,2,1)，DF?(1,?2,0)． 设平面BDF的一个法向量为n?(x,y,z)，
??????n?BD?2y?z?0,?x?2y则?????即?， ??n?DF?x?2y?0,?z??2y取y?1，得，n?(2,1,?2)． ??????10分
y x ????又设AB与平面BDF所成的角为?，BA?(2,0,0)，
????n?BA????4?0?02则sin??cos?n,BA???， ?????39?4n?BA
6
故AB与平面BDF所成角的正弦值为
2．?????????????13分 3解法二：（Ⅰ）取BE的中点M，连结MD,MF， 则MD//BC,MF//AB，
又因为BC?平面ABC，MD?平面ABC，
M AB?平面ABC，MF?平面ABC，
所以MD//平面ABC，MF//平面ABC， 又MD?MF?M，所以平面MDF//平面ABC，
DF?平面ABC，∴DF//平面ABC．?????6分
（Ⅱ）同解法一． ?????????????13分 17．解：（Ⅰ）依题意可得，任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为
从而任意抽取一位市民不会购买本地家禽的概率为
1， 54． 5()设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件A，则P(A)?1?故至少有一位市民会购买本地家禽的概率（Ⅱ）X的所有可能取值为：2，3，4．
453?1?6461?， 12512561．??????6分 125111P(X?2)???552514116P(X?4)?1???，
25125125
所以X的分布列为：
，
4114P(X?3)????555125，
X P 2 3 4 14116 1251252514116486?E(X)?2??3??4?． ??????13分
2512512512518．解：（Ⅰ）设F(c,0)，易知c?1，又
c2222?，得a?2，于是有b?a?c?1． a2yDAx2?y2?1． ?????4分 故椭圆?的标准方程为2 7 OmBFlCx（Ⅱ）联立??y?2x,22?x?2y?2,得x?22， 9????222222A的坐标为(,)．故FA?(?1,)．
3333依题意可得点D的坐标为(2,4)．设C的坐标为(m,0)，
????故CD?(2?m,4)．
因为FA//CD，所以(222?1)?4?(2?m)??0，解得m?32， 3322?01?3??， ????8分
42?3231(x?32)，代入x2?2y2?2， 4于是直线AC的斜率为kAC从而得直线AC的方程为：y??得x?2212(x?62x?18)?2， 8即9x?62x?2?0，知??72?72?0，
故直线AC与椭圆?有且仅有一个公共点． ????13分 19．解：(Ⅰ）①在?ABC中，AB?1，AD?x，?BAD?由余弦定理，BD?x?1?2x?1?22?3，
1?x2?x?1?0， 2A
D
所以s?10x?40x2?x?1 (0?x?1)．??????3分 ②在?ABC中，AB?1，?BAD??3，?ADB??，
2???. 3AD1BD由正弦定理，， ??2??sin(??)sin?sin332?sin(??)33cos?13得AD?， ??，BD?2sin?sin?2sin?2?ABD?则
B C
8
s?10(3cos?1353(4?cos?)?2? ????6分 ?)?40? =?5 (???)．
2sin?22sin?sin?3353(4?cos?)?2??5 (???)，
sin?33(Ⅱ）选用(Ⅰ）中的②的函数关系式， s=?sin2??(cos??4)cos?53(4cos??1)， s??53???22sin?sin?11?2?) ，记cos?1??， (??1?4433?12?1)时，cos???，s??0；则当??(,?1)时，cos???，s??0；当??(?1,
34341所以当cos???，时，总路程s最小值为155，
413?(?)154?1?5?5， 此时sin??，AD?4210152?4由s??0得，cos???答：当AD?5?5km时，总路程s最小,最小值为155km． ?????13分 1020．解：（Ⅰ）依题可得 f?(x)?3x2?3a，
当a?0时，f?(x)?0恒成立，函数f(x)在R上单调递增； 当a?0时，由f?(x)?3(x?a)(x?a)?0，解得x??a或x?a，
f(x)单调递增区间为(??,?a)和
(a,??)． ???????????4分
（Ⅱ）设切线与直线x?2的公共点为P(2,t)，当a?0时，f?(x)?3x2，
23则f?(x1)?3x1，因此以点A为切点的切线方程为y?x1?2?3x12(x?x1)．
因为点P(2,t)在切线上，所以t?x1?2?3x1(2?x1)，即2x1?6x1?t?2?0． 同理可得方程2x2?6x2?t?2?0. ???????????6分
设g(x)?2x?6x?t?2，则原问题等价于函数g(x)至少有两个不同的零点. 因为g?(x)?6x?12x?6(x?2)x，
9
232323232当x?0或x?2时，g?(x)?0，g(x)单调递增，当0?x?2时，g?(x)?0，g(x)单调递减．
因此，g(x)在x?0处取极大值g(0)?t?2，在x?2处取极小值g(2)?t?10．
?t?2?0,若要满足g(x)至少有两个不同的零点，则需满足?解得2?t?10．
?t?10?0,故存在，且交点纵坐标的取值范围为[2,10]． ??????????10分 (Ⅲ）由(Ⅰ）知，?2??a?0，即0?a?4． ???????11分 本题答案不唯一，以下几个答案供参考：
①h(x)?(x?4k)3?3a(x?4k)?2,x?(4k?2,4k?2)(k?N)，其中0?a?4；
?f(x)②h(x)???h(x?2)?2?x?2,x?2且x?4k?2,(k?N),*其中0?a?4；
③
?f(x)?h(x)??f(?a)??0?2?x?2,x??a?4k,(k?N*),x?2且x??a?4k,(k?N*);其
中
0?a?4． ??????14分
21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
???cos4解：（Ⅰ）由已知得，矩阵N?????sin4??sin4???2??2cos???4??2???2???2??2?． ???3分 2??2?x??y??x?,??1?1??x??x?y,?2（Ⅱ）矩阵MN?? ?11??，它所对应的变换为?y??x?y,解得???y?x????y?.?2?把它代人方程xy?1整理，得(y?)?(x?)?4 ，
即经过矩阵MN变换后的曲线C?方程为y?x?4 . ?????7分 （注：先计算(MN)，再求曲线C?方程，可相应酌情给分） （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
解法一：（Ⅰ）由?sin
2?12222??4cos?得，?2sin2??4?cos?，
10
即曲线C的直角坐标方程为
y2?4x． ????????????3分
（Ⅱ）由直线l经过点(1,0)，得直线l的直角坐标方程是x?y?1?0，
?x?y?1?02联立?，消去y，得x?6x?1?0，又点(1,0)是抛物线的焦点， 2?y?4x由
抛
物
线
定
义
，
得
弦
长
AB?xA?xB?2?6?2?8． ????????7分
解法二：（Ⅰ）同解法一． ?????3分
??x???（Ⅱ）由直线l经过点(1,0)，得tan???1，直线l的参数方程为??y?1???将直线l的参数方程代入y2?4x，得t?62t?2?0， 所以
22t,2 2t,2AB?tA?tB?(tA?tB)2?4tAtB??62?2?8?8． ?????7分
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）因为?1?x?1，且x?0，所以1?x2?0，由柯西不等式f(x)?14? x21?x2?[x2?(1?x2)]?(14122?)?[x??1?x?]2?9， 22x1?xx1?x23x1?x2当且仅当?，即x??时取等号，
123x1?x2∴f(x)的最小值为9． ??4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)的最小值为9，由题意可得t?1?9，∴?10?t?8， 则实数t的取值范围为[?10,8]． ????????7分
11