多元函数的极值及应用
摘要：本文引入了普通极值与条件极值的概念，讨论了普通极值与条件极值的联系和区别.引入了一元函数，二元函数和多元函数的极值与最值，用拉格朗日乘数法求条件极值，求解了一些较简单的最大值和最小值的应用问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.给出了三元函数极值的快速判别方法，并且讨论它在实际问题中的应用.在多元函数极值理论的基础上，讨论了多元函数求解极值的理论方法，并通过典型例题阐明多元函数极值在实践中的应用.
关键词：极值；条件极值； Hessian矩阵；Lagrange乘数法
I
Extreme value of pluralistic function and values application
Abstract: This paper introduces the general extremum and conditional extreme value concept, discussed the common extremum and conditional extreme value relation and difference. Introduced a circular function, and multiple function of dualistic function solving extreme value and maximum, using Lagrange multiplier method for conditional extreme value was solved, some more simple application of the maximum and minimum value of the unary function. The extremum problems of generalized to multivariate function case, got some new results are provided, and some not solved before, and can promote the conclusion after using promotion can be solved example. Given the extreme rapid ternaire real-value function, and discuss it discriminant method in practical problems in the application of multivariate function. The basis of extreme value theory, discusses the theory of solving extreme multiple function method, and the typical examples illustrate multivariate function through the practical application of the extremum.
Key words: extremum; constrained extremum; Hessian matrix; Lagrange multipliers
II
目录
引言 ............................................................................................................................... 1 1 普通极值与条件极值 .............................................................................................. 1
1．1 普通极值与条件极值问题 ......................................................................... 1
1．1．1 普通极值问题 ................................................................................ 1 1．1．2 条件极值问题 ................................................................................ 1 1．2 两种极值问题的联系和区别 ..................................................................... 2 2 多元函数的极值及最值问题 ................................................................................. 3
2．1 一元函数的极值及最值 ............................................................................. 3 2．2 二元函数的极值及最值 ............................................................................. 4
2．2．1 二元函数极值的定义 .................................................................... 4 2．2．2 二元函数取得极值的条件 ............................................................ 5 2．2．3 求二元函数极值的一般步骤 ........................................................ 6 2．3 多元函数的极值及应用 ............................................................................. 7
2．3．1 多元函数取得极值的条件 ............................................................ 7 2．3．2 多元函数求解极值的方法 .......................................................... 13 2．3．3 求最值的一般方法 ...................................................................... 13 2．4 用拉格朗日乘数法求条件极值 ............................................................... 14 3 结束语 ................................................................................................................... 16 参考文献 ..................................................................................................................... 18 谢辞 ............................................................................................................................. 19
III
延安大学西安创新学院本科毕业论文（设计）
引言
极值问题可以说是经典微积分学最成功的应用，无论是在科学研究，还是在实际工程，运筹规划方面，将问题转化为求解极值是常见的.函数的极值不仅是函数性态的重要特征，而且在实际中也有重要的作用，多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用.在一元函数情形，我们有许多良好的判别极值的定理，而对于多元函数，我们也有强有力的工具—Hessian矩阵.但是，如此强有力的工具却仍有缺陷，就是某些临界条件下，我们无法通过Hessian矩阵的正负定性来判断，而这样的临界条件也经常出现在实际工程应用和某些理论研究中，因此，寻求在判别法失效情况下的其它判别准则是有意义的.关于等约束条件极值几乎只给了其必要条件，而要求出极值通常是通过Lagrange乘数法求出可能的极值点，至于是极大值还是极小值往往是结合实际问题讨论，要从理论上准确判断出是极大值、极小值往往没有办法，没有充分条件的理论支撑.本文给出了几类多元函数在多个等式约束条件下极值的充分条件.
1 普通极值与条件极值
1．1 普通极值与条件极值问题 1．1．1 普通极值问题
极大值与极小值（又被称为极值）是指在一个域上函数取得最大值（或最小值）的点的函数值.
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 普通极值问题又称为无条件极值问题.
例如，求函数f(x,y)?x2?5y2?6x?10y?6的极值，就属于无条件极值问题. 1．1．2 条件极值问题
但是在实际中我们往往遇到这样的问题，例如：要设计一个容量为V的开口长方体水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，用的材料最少？为此设水箱
1
延安大学西安创新学院本科毕业论文（设计）
的长，宽，高分别为x,y,z，则表面积为
S(x,y,z)?2(xz?yz)?xy，
但上述函数的各自变量还必须满足
xyz?V(x?0,y?0,z?0)，
这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.
两类极值问题是相辅相成的，也就是说，解决好无条件极值问题有助于解决条件极值问题；反之解决好条件极值问题将对解决无条件极值起促进作用.因此，必须弄清两者的区别和联系是什么. 1．2 两种极值问题的联系和区别
x(0)为D的内点，定义?10?1设f(x)定义在Rn中的区域D上，如果存在??0，
使
u?x:x?x(0)???D，f(x)?f(x(0))，(?x?u)，
??则称f(x(0))为f(x)的极大值，称x(0)为f(x)的极大值点.
如果f(x)?f(x(0))，(?x?u)，则称f(x(0))为f(x)的极小值，称x(0)为f(x)的极小值点.
定义?10?2设函数f(x)定义于Rn中的区域D上，x?(x1,x2,?,xn)满足条件
?k(x1,x2,?,xn)?0,k?1,2,?,m(m?n)，
此时f(x)的极值问题称为满足约束条件的条件极值问题.上述两个定义给出了函数极值的两类问题，定义1为普通极值(无条件极值)，定义2为条件极值问题，令
M?{(x1,x2,?,xn):?k(x1,x2,?,xn)?0,k?1,2,?,m(m?n)}，
则M?Rn,M?D??，对满足定义2的条件极值点x(0)，必有x(0)?M?D.如果视D为拓扑空间，其拓扑?由Rn的通常距离诱导出，令?'???M，则?'为M?D的拓扑，(M?D,?')为(D,?)的子空间.设u为(D,?)中的开集，则u?M为
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