延安大学西安创新学院本科毕业论文（设计）
(1)p0必为f的驻点且f?(p0)?0；
(2)若f在U?p0?内存在连续的二阶偏导数，A为f在p0的Hessian矩阵，
则
1)当f在点p0取极小值时，Hessian矩阵A为正定或半正定； 2)当f在点p0取极大值时，Hessian矩阵A为负定或半负定； 3)当f在点p0不取极值时，Hessian矩阵A为非定号阵.
00,x2,?xn0?处存在一阶偏导数，则极值点必为驻即f?x1,x2,?xn?在点p0?x100,?xn点，但驻点不一定是极值点，当f?x1,x2,?xn?在点p0?x10,x2?处不存在一阶00,?xn偏导数时，p0?x10,x2?也可能是f?x1,x2,?xn?的极值点，即极值点可能是驻
点或一阶偏导数不存在的点.
定理?8?8（充分条件）如果函数y?f?x1,x2,?xn?,?x1,x2,?xn??E，在驻点
00p0?x10,x2,?xn?的某邻域U?p0?内，具有Hessian矩阵A，则
(1)若A为正定（或负定）矩阵时，f在点p0取严格极小（或极大）值； (2)若A为半正定（或半负定）矩阵时，f在点p0取极小（或极大）值；
(3)若A为非定号阵，f在点p0不取极值.
求函数y?f?x1,x2,?xn?的极值时，应首先求出驻点或偏导数不存在的点，然后对所有可能的极值点进行检验，确定函数的极值点并求出函数极值.
定理?9?9设函数u?f?x,y,z?在点P0?x0,y0,z0?的某领域U?P0?内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又fx?x0,y0,z0??0，fy?x0,y0,z0??0，fz?x0,y0,z0??0.令
A?fxx?x0,y0,z0?，B?fyy?x0,y0,z0?，C?fzz?x0,y0,z0?， m?fxy?x0,y0,z0?，n?fxz?x0,y0,z0?，h?fyz?x0,y0,z0?，
当AB?m2?0,C?AB?m2??Bn2?Ah2?2hmn?0时，则f?x,y,z?在P0(x0,y0,z0)
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处是否取得极值的充分条件如下：
(1)当A?0,AB?m2?0,C?AB?m2??Bn2?Ah2?2hmn?0时，?x0,y0,z0?为极
大值点，f?x0,y0,z0?为极大值；
(2)当A?0,AB?m2?0,C?AB?m2??Bn2?Ah2?2hmn?0时，?x0,y0,z0?为
极小值点，f?x0,y0,z0?为极小值；
(3)当AB?m2?0时，没有极值.
其中fx?x0,y0,z0??0，fy?x0,y0,z0??0，fz?x0,y0,z0??0是?x0,y0,z0?为极值点的必要条件.
证明 由三元函数的泰勒公式，对任一?x0?h,y0?k,z0?d??U?P0?有 ?f?f?0x?,h0y?,k0z??d?? 0zf0,x0,?y1?[h2fxx?x0??h,y0??k,z0??d? 2?2hkfxy?x0??h,y0??k,z0??d??2hdfxz?x0??h,y0??k,z0??d??2kdfyz?x0??h,y0??k,z0??d??k2fyy?x0??h,y0??k,z0??d??d2fzz?x0??h,y0??k,z0??d?],0???1为简便，将fxx?x,y,z?,fxy?x,y,z?,fyz?x,y,z?,fxz?x,y,z?,fyy?x,y,z?,fzz?x,y,z?在点?x0??h,y0??k,z0??d?的值记为fxx,fxy,fyz,fxz,fyy,fzz，则上式可写为： ?f?122hkxfy?2?hxfx?2hd?2xzf2kydz?f2ky?yf
?，dzzf为讨论P0附近讨论上式的符号.根据极值定义，当0?x0,y0,z0?是否为极值点，在P上式取负号时，P0为极大值点；当上式取正号时，P0为极小值点.为此将上式写为
fxyfxxfyy?f?fxxfyz?fxyfxz??fxz?1?f?[fxx?h?k?d??k?d? ?2??2fxxfxx?fxxfxxfyy?fxy???22xy29
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2fzz?fxxfyy?fxy??fyyfxz2?fxxfyz2?2fxyfxzfyz
?fxxfyy?f2xyd2]，
当h,k,d不全为零，且?x0?h,y0?k,z0?d??U?P?非零，?f的正0?时，上式??负与???中各平方项系数有关.又由f?x,y,z?的二阶偏导数的连续性可知，存在点p0的领域U1?P?P?,使得对任一?x0?h,y0?k,z0?d??U1?P0?时，0??U02222（AB? ，fzz?fxxfyy?fxy??fyyfxz?fxxfyz?2fxyfyzfxz，与A,AB?m2,Cfxx,fxxfyy?fxym2）?Bn2?Ah2?2mnh同号.由前述讨论知，当A?0,AB?m2?0，C?AB?m2?? Bn2?Ah2?2hmn?0时，?x0,y0,z0?为极大值点；当A?0,AB?m2?0,C?AB?m2? ?Bn2?Ah2?2hmn?0时，?x0,y0,z0?为极小值点；当AB?m2?0时，?f在P0点
附近不再保持定号，此时P0不是极值点.证毕.
推论?9?10对形如下列方程
1 S?C?B1x?212Ax?2B?y22By?31B?z22C?zm?xy ?nxzhyz当AB?m2?0,C?AB?m2??Bn2?Ah2?2hmn?0时，其唯一驻点?x0,y0,z0?为极值的充分条件是：
(1)当A?0,AB?m2?0,C?AB?m2??Bn2?Ah2?2hmn?0时，?x0,y0,z0?为极
大值点；
(2)当A?0,AB?m2?0,C?AB?m2??Bn2?Ah2?2hmn?0时，?x0,y0,z0?为
极小值点；
(3)当AB?m2?0时，?x0,y0,z0?不是极值点.
注 当讨论三元函数的极值问题时，先求出其对应的驻点（即求解多元函数方程组），然后用定理9直接判断驻点是否为极值点，显然该方法比判全微分的正负定法更为直观便捷，特别是一旦遇到推论10中的方程时，可直接判断方程是否存在极值，无需先求出其驻点.这在讨论实际问题时带来很大方便.
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例?9?6我们应用前述理论讨论黄河流域的产沙量问题.理论和实践经验表明产沙量主要与降水量P(mm)，泥沙中径D50(mm)，坡度GP(11000)(或者河道密度Gm(kmkm2))有关，并且在上述因素综合作用下，一定存在极值.实际上产沙量S与这三者之间可能存在着多种统计关系.我们的工作是如何对其进行筛选而得到符合实际情况的那种统计关系.
下边是已经建立起来的一组统计方程（实际上远不止这些）：
S??64.848?0.2169P?0.00018P2?0.185GP?0.00312GP2
2?691.948D50?177.63D50?0.00048P?GP?1.0595P?D50 (3.1) 2 S??63.298?0.208P?0.00017P2?0.7138GP?0.00197GP2?668.64D50?1713.36D50?1.0061P?D50?0.9605GP?D50 (3.2 )2 S??7.1239?0.0299P?0.00003P2?0.3894GP?0.00197GP2?67.85D50?679.05D50?0.0007P?GP?2.375GP?D50 (3.3) 2 S??60.939?0.1994P?0.00016P2?0.02597GP?0.00118GP2?650.26D50?1700.13D50?0.9819P?D50 (3.4 )2 S??10.298?0.0348P?0.000023P2?0.03928GP?0.00132GP2?84.347D50?660.53D50?0.2423GP?D50 (3.5) 2 S??9.965?0.0359P?0.00003P2?0.07246GP?0.00204GP2?81.758D50?658.697D50?P?GP (3.6 )这是一组形如推论10中的方程，可由推论10直接进行取舍.经验证，(3.1)，
(3.2)，(3.4)，(3.5)满足推论10的条件，故保留，其它舍弃.再分别求出这四个
方程的极值点.在实际问题中，由于所论方程的自变量取值范围均为正数，而方程(3.1)，(3.2)的极值点出现负值，故舍弃.最后得到：方程(3.4)的极大值点
)极大值点(P,GP,D50)?(319,11,0.09)，极大值为S?3.23，方程(3.5的
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(P,GP,D50)?(756,9,0.06)，极大值为S?5.67.实际取值的范围P?450?500，
Gp?6?12，D50?0.04?0.06，这两个结果均超出实际取值的范围，不符合实际情况.
另外再根据S与P，D50，Gm的关系进行判别：
2S??100.906?0.3796P?0.00035P2?901.43D50?1446.9D50?2.4323Gm 2 ?1.79G9m8?1.7P9?9D580?0.P1?mG50?150 6. 3 3 (3.7) D74?Gm2S??61.774?0.2095P?0.00018P2?625.763D50?1684.03D50?10.059Gm 2 ?17.503Gm?0.9345P?D50?0.03666P?Gm (3.8) 2S??64.778?0.2199P?0.00019P2?678.9D50?1774.58D50?0.9877Gm 2 ?0.025G1m1?1.1P1?D08?500.P0?0G16?9m50 G 0 4 5 (3.9) D12.?m经计算知(3.7)，(3.9)不符合推论10的条件，舍弃.方程(3.8)的极大值点.而河道密度的实际范围是(P,D50,Gm)?(576,0.03,0.31)，极大值S?2.060.1?Gm?0.3.上述结果还是存在一些偏差.
进一步考虑含有三次交叉项的情形：
22 S??90.735?0.3359P?0.0003P2?520.895D50?1528.84D50?91.575Gm?3.2276Gm )?0.197P?D50?0.1432P?Gm?697.35D50?Gm?0.00161P2?D50 (3.102S??47.652?0.14909P?0.00012P2?46.346D50?1807.12D50?11.22Gm
21)?17.14Gm?1.9323P?D50?0.0377P?Gm?0.002985P2?D50 (3.1 2S??36.032?0.0902P?0.000048P2?896.114D50?2069.01D50?0.09598Gm 2 )?0.01965Gm?5.7167P?D50?0.00053P?Gm?0.00706P2?D50 (3.12这三个方程不能直接利用推论10进行判定，因此只能先逐个求出驻点后，再按定理9中的方法进行判定.经计算知，方程(3.12)的实驻点中出现负值与实际不符，舍弃此方程.方程(3.10)的正实驻点为(P,D50,Gm)?(470,0.04.0.13)，并且
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