延安大学西安创新学院本科毕业论文（设计）
存在极大值为2.24，与实际情况比较符合.因此(3.11)是符合我们需要的函数关系.
2．3．2 多元函数求解极值的方法
第一步：求出函数f(x1,x2,?,xn)可能的极值点.
首先，求出函数f(x1,x2,?,xn)的驻点，根据极值存在的必要条件，解方程组
fx?1(x1,x2,?,xn)?0 ? ?
?(x1,x2,?,xn)?0 fxn方程组的解即为驻点. 再考虑一阶偏导数不存在的点.
000第二步：对每一个可能的极值点p0(x1,x2,?,xn)进行检验，根据极值存在的000充分条件，首先，计算f(x1,x2,?,xn)在点p0(x1,x2,?,xn)的Hessian矩阵A，
?2f?2f ? 2?x1?x1?xnA= ? ?
?2f?2f ?
?x1?xn?xn2000再根据定理2判定p0(x1,x2,?,xn)是否为极值点并求出极值?3?.
2．3．3 求最值的一般方法
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值?2?.
例?12?7求抛物线y?x2到直线x?y?2?0的最短距离.
解 设抛物线上的点为(x,y)，它到直线x?y?2?0的距离为d，则
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u?d2?1(x?y?2)2， 2当u取最小值时，d也为最小值，于是问题为：
1求函数u?(x?y?2)2在条件y?x2?0下的最小值.
21构造函数F(x,y)?(x?y?2)2??(y?x2),求其对x,y的偏导数，并令其为
2零，得
x?0?x?y?2?2?????，0 ??(x?y?2)?y?x2?0?1111解得x?,y?,所以驻点为:(,).
2424由于在开区域{(x,y)|x?0,y?0}内只有一个驻点，据题意，最短距离一定存在，所以此驻点就是最小值点.
11??2117224即u在点(,)处取得最小值，所求最短距离为d?. ?2482在解决实际问题时，若按问题的性质，知道由该问题归结出来的函数f(x,y)在开区域D内一定能取得最大值（或最小值），而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大（小）值. 2．4 用拉格朗日乘数法求条件极值
实例?4?小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为
U(x,y)?lnx?lny.设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以
达到最佳效果.
问题的实质：求 U(x,y)?lnx?lny在条件8x?10y?200下的极值点． 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 拉格朗日乘数法
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要找函数z?f(x,y)在条件?(x,y)?0下的可能极值点. 先构造函数F(x,y)?f(x,y)???(x,y)，其中?为一常数，由
?fx(x,y)???x(x,y)?0??fy(x,y)???y(x,y)?0， ??(x,y)?0?解出x,y,?，其中x,y就是可能的极值点的坐标. 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数u?f(x,y,z,t)在条件?(x,y,z,t)?0，?(x,y,z,t)?0下的极值，先构造函数F(x,y,z,t)?f(x,y,z,t)??1?(x,y,z,t)??2?(x,y,z,t)，其中?1,?2均为常数，可由偏导数为零及条件解出x,y,z,t，即得可能极值点的坐标.
例
?11?x2y2z28第一卦限内作椭球面2?2?2?1的切平面，使切平面与三个坐标
abc面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.
解 设P(x0,y0,z0)为椭球面上一点，令
x2y2z2 F(x,y,z)?2?2?2?1，
abc则 Fx?|P?2x02y02z0??F|?F|?，，， yPzPa2b2c2过P(x0,y0,z0)的切平面方程为
x0y0z0(x?x)?(y?y)?(z?z0)?0， 00a2b2c2化简为
x?x0y?y0z?z0?2?2?1， 2abc该切平面在三个轴上的截距各为
a2b2c2，y?，z?， x?x0y0z01a2b2c2所围四面体的体积V?xyz?.
66x0y0z015
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222x0y0z0在条件2?2?2?1下求V的最小值，令
abc222x0y0z0u?lnx0?lny0?lnz0,G(x0,y0,z0)?lnx0?lny0?lnz0??(2?2?2?1)，由
abc?0?0,G??0?0Gz?Gxy0?0,?222， ?x0y0y0?2?2?2?1?0bc?a?12?x0?x?a2?0?0?12?y0?y?b2?0abc?即 ?0， 可得x0?，y0?，z0?.
333?1?2?z0?0?z0c2?222?x0y0z0???1?0??a2b2c2当切点坐标为(abc3,,)时，四面体的体积最小Vmin?abc.
23333 结束语
多元函数的极值问题无论是实际生产生活中还是理论应用中都极其重要，对于多元函数极值问题的研究就显得十分重要且有意义.本文通过引入广义约束条件和广义条件极值讨论了多元函数中的极值问题，比较了普通极值（无条件极值）和条件极值问题的联系和区别.相比于利用Hessian矩阵判断极值，Lagrange乘数法对于求函数的极值有其特别的功用，这样Lagrange乘数法就显示出其更广泛的应用性.而且在判断极值时用Hessian矩阵要求的条件就很强（要求函数二阶可微，不妨称这种方法为直接法），问题是对于没有这么强条件的函数我们怎么办，回答是目前无法找到统一的方法处理，因为用Lagrange乘数法求极值时我们也要求函数有连续偏导数，事实上就是二阶可微.尽管如此，我们仍然可以看到Lagrange乘数法在进行计算时要比直接法要简便，这就是Lagrange乘数法的优越性.特别是对于函数的定义域是闭集时就更为明显了，因为此时函数的极值分布在可疑极值点处和边界点处，我们可以通过用Lagrange乘数法求出可疑极值
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点，再比较各点处函数值的大小和边界点处函数值的大小就可以得到函数的极值（最值）点了.对于其他情形讨论的情况就很复杂了，需要发展更好的方法.
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