延安大学西安创新学院本科毕业论文（设计）
(M?D,?')的开集，这样，定义2中的条件极值问题事实上可以理解为一种“普
通极值”.因此，我们有如下的定义方式.
定义?10?3设函数f(x)定义于Rn中的区域D上，M?Rn,M?D?? ，对于
x(0)?M?D，若存在x(0)在D上的某邻域u，使
f(x)?f(x(0))(?x?u?M)，
则称x(0)为f(x)限制在集合M上的极大值点.如果
f(x)?f(x(0))(?x?u?M)，
则称x(0)为f(x)限制在集合M上的极小值点.
注1上述定义中的集合M可以是任给的区域，如求y?x在[0,1]上的极值，也可以是方程(组)或不等式的解集合，如定义2或其它.称定义3中的M为广义约束条件，称由该定义所得到的极值问题为广义条件极值问题.这样，定义2只是定义3的特殊情形.
注2如果M为Rn中的开集，则由上述定义中定义的极值点x(0)必为定义1中的极值点.反之，定义1中的极值点必为定义3中的极值点(只要取M?Rn)，从而定义1也是上述定义的特殊情形.
注3由1，2可看出，定义3事实上是Rn中极值问题的统一定义.
2 多元函数的极值及最值问题
2．1 一元函数的极值及最值
对于一元函数，我们有如下若干判别准则，现不加证明的列举如下： 定理
?7?1(Fermat)设函数f在区间I有定义，若x0(x0?I)是f的极值点，且
0f在x0可导，则f?(x0)?0.
定理?7?2（极值判别法Ⅰ）设函数f在x0的邻域U(x0,?)连续，在空心邻域
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U(x0,?)可导.
(1)当x?(x0??,x0)时，f?(x)?0;x?(x0,x0??)时，f?(x)?0，则x0是f的
0极小值点；
(2)当x?(x0??,x0)时，f?(x)?0;x?(x0,x0??)时，f?(x)?0，则x0是f的
极大值点；
(3)当x?U(x0,?)时，导函数f?不改变符号，则x0不是f的极值点.
0定理?7?3(极值判别法II)设函数f在x0的邻域U(x0)可导，x0是f的临界点，即f?(x0)?0，且f??(x0)存在.
(1)若f??(x0)?0，则x0是f的极大值点. (2)若f??(x0)?0，则x0是f的极小值点.
定理?7?4(高阶判别法)若在函数的各阶导数中，第一个在点x0处不等于0的导数是奇数阶的，则函数在x0处既无极大值也无极小值.若是偶数阶的，则函数在
x0处有极大值或极小值，当导数为正时，取极小值，反之，取极大值. 2．2 二元函数的极值及最值 2．2．1 二元函数极值的定义
设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于
(x0,y0)的点(x,y)：若满足不等式f(x,y)?f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)有极大值；若满足不等式f(x,y)?f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)有极小值.极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.
例1函数z?3x2?4y2在(0,0)处有极小值.
解 当(x,y)?(0,0)时，z?0，而当(x,y)?(0,0)时，z?0.因此z?0是函数的极小值.
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例2函数z??x2?y2在(0,0)处有极大值.
解 当(x,y)?(0,0)时，z?0，而当(x,y)?(0,0)时，z?0.因此z?0是函数的极大值.
例3函数z?xy在(0,0)处无极值.
解 因为在点(0,0)处的函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点.
以上关于二元函数的极值概念，可推广到n元函数.设n元函数u?f(p)在点
p0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于p0的点p，都有
f(p)?f(p0) (或f(p)?f(p0))，
则称函数f(p)在点p0有极大值(或极小值) f(p0). 2．2．2 二元函数取得极值的条件
定理?1?5（必要条件）设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点则它在该点的偏导数必然为零，即fx(x0,y0)?0，fy(x0,y0)?0. (x0,y0)处有极值，
证 不妨设z?f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值，则对于(x0,y0)的某邻域内任意(x,y)≠(x0,y0)都有f(x,y)?f(x0,y0)，故当y?y0时，x?x0时，有
f(x,y0)?f(x0,y0)，说明二元函数f(x,y0)在x?x0处有极大值，即fx(x0,y0)?0.
类似可证fy(x0,y0)?0.
凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 注1对可偏导的函数 极值点 驻点
点(0,0)是函数z?xy的驻点，但不是极值点.
驻点是极值点的条件是：一阶导数为零的同时，二阶导数不为零.但不是充
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要条件，若在该点处一、二、三阶导数都等于零，四阶导数不等于零，该点也是极值点.
注2极值可能在偏导数不存在处产生.
z??x2?y2在(0,0)处偏导数不存在，但取得极大值.
定理?1?6（充分条件）设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，且fx(x0,y0)?0， fy(x0,y0)?0.
记fxx(x0,y0)?A，fxy(x0,y0)?B，fyy(x0,y0)?C，则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值条件如下：
(1)当B2?AC?0时，点(x0,y0)是极值点，当A?0时是极大值点，当A?0时
是极小值点；
(2)当B2?AC?0时不是极值点；
(3)当B2?AC?0时可能是极值点，也可能不是极值点，还需另作讨论.
2．2．3 求二元函数极值的一般步骤
求z?f(x,y)的极值的步骤?1?： (1)求出f的所有驻点；
(2)求出f的各个驻点处的Hessian矩阵；
(3)根据定理2确定f的极值.
注 令
?fxx H???f?xy称H为f的Hessian矩阵.
例4求函数z?x3?y3?3xy的极值
fxy??AB?????， ???fyy??BC?解 ∵ f(x,y)?x3?y3?3xy，
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∴ fx(x,y)?3x2?3y，fy(x,y)?3y2?3x，
fxx(x,y)?6x，fxy(x,y)??3 ，fyy(x,y)?6y，
2??fx(x,y)?3x?3y?0由?2f(x,y)?3y?3x?0?y?，解得驻点(1,1) , (0,0).
对于驻点(1,1)有A?fxx(1,1)?6,B?fxy(1,1)??3,C?fyy(1,1)?6，
于是B2?AC?9?36?0,因为A?6?0， 所以函数在 (1,1)点取得极小值 f(1,1)??1， 对于驻点(0,0),A?0,B??3,C?0，
所以 B2?AC?9?0,于是点(0,0)不是极值点.
例5求z?x?y的最大值和最小值.
x2?y2?1(x2?y2?1)?2x(x?y)(x2?y2?1)?2y(x?y)解 由 zx??0，zy??0，
(x2?y2?1)2(x2?y2?1)2得驻点 (12,12)和(?12,?12).
因为limx?y?0，边界上的值为零，
x??x2?y2?1y??z(12111111,)?,?)??，z(?，
222222，最小值为?所以最大值为
12.
2．3 多元函数的极值及应用 2．3．1 多元函数取得极值的条件
定理?8?7（必要条件）设n元函数y?f?x1,x2,?xn?,?x1,x2,?xn??E，若f在
00,?xn点p0?x10,x2?处可微且取极值，则
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