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下列表达是式中，（1）dvdt?a，（2）drdt?v ，（3）dsdt?v
?（4）dvdt?at： （A）只（1）、（4）是对的；（B）只有（2）、（4）是对的； （C）只有（2）是对的； （D）只有（3）是对的。 [ D ]
???????av?drdvdtdsdv提示： a?，a?a?，v?，v?u?， v?，at?。
dtdtatdtdtdt?1.18、一运动质点在某瞬时位于矢径r?x,y?的端点处, 其速度大小为
?22?drdrdr?dx??dy? (A) ；(B) (C) ；(D) ????? [ D ]
dtdtdtdtdt????解：根据定义（或概念），速度大小为标量，可排除B；同时可以确定D为正确答案。但是，我们还是要掌握A和C表达式的物理意义：
?dr|?r|dr?r=lim， =lim， ?r?|?r|
?t?0?t?0?tdtdt?t1.19、一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t－t2 (SI)，则在t由0至4s的时间间隔内，质点的位移大小为 _____8m______，在t由0到4s的时间间隔内质点走过的路程为________10m_________．
解：∵质点的位移Δr= r4-r0为矢量差，|Δr|=（6 ×4–42）- 0 = 8 m；
dx∵质点走过的路程为 S = Vt，V??6?2t，t =3时，V = 0，即第三秒后，质
dt点反向运动，V4 = -2m/s ∴S4 = V4t = 2m，故路程为S =|Δr|+ S4 = 8 + 2 = 10m。
???1.20、设质点的运动学方程为r?Rcos?t i?Rsin?t j (式中R、??皆为常
???量) 则质点的v=__-?Rsin??ti+?Rcos??tj_________． ???解：∵r?Rcos?t i?Rsin?t j，
V?drd(Rcos?ti?Rsin?tj)i 和 j为方向矢量。 ????Rcos?ti??Rcos?tj （式中，
dtdt1.21、一质点以速度v?4?t2?ms?作直线运动，沿质点运动直线作ox轴，并已知t=3s时，质点位于x=9m处，则该质点的运动学方程为：
1 （A） x=2t （B） x=4t+t2
211 （C） x?4t?3t? （D） x?4t?3t?12 [ C ] 1233提示：
?x9dx???4?t?dt，x?9??4t?t3?23t3t3t3?4t??9?12，
3t2∴x?4t??2
3
1.22、在倾角为θ的斜坡上，沿与水平面成倾角为α的方向抛出一石块。
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设石块落地点离抛射点的距离为L，求石块的初速度V0 ？ 解题指导：这是一道在斜面上 V0 Y 进行斜上抛的质点运动问题，研究 α 0 石块运动，可知：经过时间t，石块 L 到达A处,如图1.13所示,已知α和L；求V0。 A θ 解题思路——把斜上抛的运动分解为X和Y轴 图1.13 方向的运动，再运用数理逻辑推理（数学运算）得到正确的答案。
（1）、建立坐标系OXY； （2）、X轴：X = V0cosαt= L cosθ ??（1） Y轴：Y = V0sinαt - ? g t2= -L sinθ??（2） （3）、数学运算，求V0：
11tv0sin??gt2v0sin??gt22 （2）/（1）：tagθ=?tv0cos?v0cos?V0sinα - ? g t= - tagθV0cosα，2 V0sinα+ 2V0cosαtagθ= g t ∴t?2v02v0(sin??tg?cos?)?sin(???) ??（3） ggcos?[∴ sinα+tagθcosα=
sin?cos??cos?sin?sin(???)]将（3）代入（1）式， ?cos?cos?V0cosα（2V0/g cosθ）sin（α+θ）= Lgcosθ
ocs?gL这是正确答案。
2ocs?n(is???)V02 = g L cos2θ/2cosαsin（α+θ），v0?1.23、下列说法中，哪一个是正确的？
(A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2 m/s，说明它在此后1 s内一定要经过2 m的路程．
(B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大。 (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零。
(D) 物体加速度越大，则速度越大． ［ C ］
1v?v0?at。解：(A)中，S?S2?S1?v1t?at2；(B) 中，加速度不变；(D)中，
2所以，(C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零。
1.24、一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为：a＝2＋6 x2 (SI) 如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
解：设质点在x处的速度为v， dvdvdxa????2?6x2 ，
dtdxdt ?vdv???2?6x2?dx， v?2?x?x3?2 。
1vx00
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第二章 牛顿运动定律
一、 要求
1、掌握牛顿三定律及其适应条件，能应用微分方法求解一维变力作用下的简
单的质点动力学问题；
2、掌握分析质点受力的方法，能分析简单系统在平面内的运动的力学问题； 3、了解4种基本自然力。
二、内容提要
1、牛顿力学基础知识系统图
第一定律 惯性参考系 第二定律 力的瞬时效应 F?ma 质 力的时间积累效应 力的空间积累效应 力的转动累效应 点 dI = Fdt = dP dA = Fdr = dEK M = dL/dt P= mV Ek = mV2/2 L = r×P t2t2 ?Fdt?P2?P1 AAB??F?dr?EKB?EKA t1t1
第三定律 Fij = -Fji，ri×Fij + rj×Fji = 0 质 F合外力dt = dP 保守力的功 M合外力= dL/dt F合外力 = maC ∮Fdr = 0 Ek=Ekc+Ek内 L =∑Li 点 rc = ∑mi ri/m 势能 Ekc=mV2c/2 P = mVc EAB = -ΔEP 刚体定轴 系 质心参考系中 = EPA-EPB E=Ek+EP Mdθ Pˊ= 0 =d（Iω2/2）
A合外力 + A非保守内力=ΔE M=Iβ=dL/dt F合外力 = 0 动量守恒 A合外力 + A非保守内力 = 0 M合外力矩= 0 机械能守恒 角动量守恒
普通的动量守恒 普通的能量守恒 普通的角动量守恒 空间均匀性 时间均匀性 空间各向同性
2、惯性—— 物体保持静止或匀速直线运动状态的这种特性，叫做惯性； 3、惯性（参考）系
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（1）、惯性系定义—— 在研究物体相对运动时，选取的参考系本身具有惯性，这样的系统称为惯性（参考）系；
（2）、惯性系属性—— 凡是相对于某一已知的惯性系，作匀速直线运动的参考系也都是惯性参考系。
4、牛顿运动定律：
第一定律——惯性和力的概念，惯性系的定义；
任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的作用的力迫使它改变这种状态为止，称为牛顿运动第一定律。
牛顿第二定律： 运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿的直线的方向上。数学表达方式：F?ma??（2.3-1）、
牛顿第三定律： 当两个质点相互作用时，作用在一个质点上的力，与作用在另一个质点上的力大小相等，方向相反，且在同一直线上（它是力的概念和动量守恒定律的推论）—— f4、
常见的几种力
12 = -
f21??（2.3-2）
重力 W?mg；压力和张力； 弹簧的弹力f =-kx； 静磨擦力 f ≤ μN；
惯性力：在非惯性系中引入的和参考系本身的加速运动相联系的力。在平动加速参考系中，Fi??ma0；
在平动加速参考系中，
惯性离心力： Fi = - m ω2r。
6、四种基本自然力的特征
力的种类 相互作用的物体 力的强度 力程 万有引力 一切质点 10?34N 无限远 弱力 大多数粒子 10?2N 小于10?17m 电磁力 电荷 102N 无限远 强力 核子、介子等 104N 10?15m
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三、解题思路
1、应用牛顿三定律分析问题的方法和步骤，一般可总结为“三字经”： 认物体 认清题目内容后，要选一个物体（抽象为质点）做为分析的对象。如果问题涉及几个物体，则要依此选一个物体逐个进行分析，对每个物体要标出其质量；
看运动 对认定的物体要分析出体目給出的（或演示）的运动状况，包括其运动的轨迹、速度和加速度。同时涉及几个问题时，要逐个进行分析它们运动的状态，并还有找出它们速度和加速度的关系。要注明速度和加速度是相对什么参考系而言，一般都是对惯性系（如：地面、地心或把太阳都看成是惯性参考系）说的；
查受力 要找出被认定的物体所受的力，并用箭头标出其受的力，箭头的尾部画在物体的作用点上。物体对其他物体的反作用力与该物体的加速度无关，一般受到的力就是那几种常见的力。为做到清楚无误地分析物体的受力，要画出清晰的示力图和物体运动的轨迹，以及其速度和加速度的方向。特别要注意参考系，如果要用非惯性系解题，要事先明确所选的有加速度的参考物，然后在每一个分析对象上还要加上一个惯性力的作用；
列方程 把上面分析出的物体的质量、加速度和它受的力（矢量和）用牛顿第二定律联系起来列出方程式，涉及几个物体时还要应用牛顿第三定律把它们受的力联系起来。最简单化原理在解物理问题时，体现在矢量分量法：常列牛顿第二定律的分量式，在应用直角坐标时，要在式力图中画出坐标轴的方向。画图是形象思维和抽象思维的有效结合，是训练我们的思维能力和表达能力的一个重要方法。
四、习题精解
1.1、在粗糙的水平桌面上放着质量为M的物体A，在A上放有一表面粗糙的小
?物体B，其质量为m．试分别画出：当用水平恒力F推A使它作加速运动时，B和A的受力图。 解：
????f1(?f1) B F A ?AMf2? ?????N1? (1) mg (2) ?mg Mg2.2、如图所示，几个不同倾角的光滑斜面，有共 ? FBm??N1 ?? f1 ??N2 750 600 450 同的底边，顶点也在同一竖直面上，若命一物体 （视为质点）从斜面上端由静止到下端的时间最 短，则斜面的倾角应选 （A）300 （B）450 （C）600 （D）750
解：对质点在光滑斜面上的运动进行 l 300