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根据小球绕O角动量守恒： Rmv0?3Rmvsin? ?? ② ①、②式联立可解出． sin??v09v?12GM/R20
3.31、空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量?0为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为?0．质量为m的小球
A静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，
R问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，BC环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球
都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r< 解：选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒．对地球、小球和环系统机械能守恒．取过环心的水平面为势能零点． 小球到B点时： J0?0＝(J0＋mR2)? ?? ① 11122 J0?0?mgR?J0?2?m??2R2?vB ?? ② ?222式中vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速 22J0?0R度．由式①得： ?＝J0??0 / (J0 + mR) ，代入式②得 vB?2gR? 2mR?J02 当小球滑到C点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至?0，又由机械能守恒定律知，小球在C的动能完全由重力势能转换而来． 12 即： mvC?mg?2R? , vC?4gR。 RB RA 2O A 3．32、一人造地球卫星到地球中心O的最大距离和B 最小距离分别是RA和RB．设卫星对应的角动量分别LA 、LB，动能分别是EKA、EKB，则应有：(A) LB > LA，E， (B) LB > LA，EKA =EKB． (C) LB = LA，EKA = EKB． (D) LB < LA，EKA = EKB． (E) LB = LA，EKA < EKB． 解：∵卫星和地球构成一个系统，合外力矩为0，角动量守恒，LB = LA； ∵ RA>R，根据开普勒面积定律，VA ∴(E) 为正确答案。 ［ E ］ 3．33、一块宽L＝0.60 m、质量M＝1 kg的均匀薄木板，可绕水平固定轴OO?无摩擦地自由转动．当木板静止在平衡位置时，有一质量为m＝10×10-3 kg的子弹垂直击中木板A点，A离转轴OO?距离l＝0.36 m，子弹击中木板前的速度为500 m·s-1，穿出木板后的O?O-1 速度为 200 m·s．求 ? (1) 子弹给予木板的冲量； L v l 0 (2) 木板获得的角速度． A 21? (已知：木板绕OO轴的转动惯量J?ML) 3解：(1) 子弹受到的冲量为 I??Fdt?m?v?v0? ?子弹对木块的冲量为：I???F?dt???Fdt?m?v0?v??3 N?s，方向与v0相同． (2) 由角动量定理：?Mdt?l?F?dt?lm?v0?v??J?，??3lm?v0?v??9 rad?s?1 2ML 37 ?3.34、质量为m的质点以速度v沿一直线运动，则它对任一点的角动量为 ??????零 。 提示：∵ r∥v ，∴ L?r?mv?0。 ?3.35、质量为m的质点以速度v沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d 的一点的角动量大小是 mvd 。 V d ??提示：L?rmvsinr.v?mvd ??? 时刻将质量为m3.36、如图所示，X轴沿水平方向，Y轴竖直向下，在rt=0的质点由a处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点所受的对原点O ???????的力矩M? mgb k ，在任意时刻t，质点对原点O的角动量L? mgbt k。 ?????????提示：M?r?F?bi?mgj?mgbk b ???dL??????r?F?M dt???????L?r?mv?bi?mgtj?mgbtk O ?ra x mg ???t??或 L??Md?t0?mg btky 3.37、证明题：试证明若质点只受有心力作用，则该质点作平面运动。 ??????dL???M?0， 证明：只受有心力时，M?0，dt????????????∴ L?c，L?r?mv?c，L的方向垂直r和v所在平面， ????L为恒矢量，即r、v总是保持在一个平面上，故质点始终作平面运动。 3.38、问答题：人造地球卫星绕地球中心做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其它星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？ 答：卫星动量不守恒，其总是受到外力——地球引力的作用，但卫星对地心 ???的角动量守恒，因为M=0。 3.39、原长为?0、弹性系数为k的弹簧，一端固定在一光滑水平面上的O点，另一端系一质量为M的小球，开始时，弹簧被拉长λ，并给予小球一与弹簧垂直的初速度v0，如图所示，求弹簧恢复其原长?0时小球的速度v的大小和方向 38 v0?3m.s?1。（即夹角?）（设M=19.6kg，。k=1254N.m?1，） ?0=2m，?=0.5m， 解：取M+k为系统， ???L?c ，E=c， 则 Mv0??0????Mv?0sin????? 而 112122 Mv?kx?Mv0222kx2v?v0??5ms M2?v M ? ???v0900 M ??sin?1v0??0????0vO ?48.590。 3.40、试证质点在有心力场中运动时，在相等的时间内，它对力心的位矢在空间扫过相等的面积。 ???????dr?证明： L?r?mv?c， 即 r?m?c， dt???1c?s?r?dr?dt， 当dt相等时， ?s相等。 2m3.41（0836）、长度为l质量为M的均匀直杆可绕通过杆上端的水平光滑固定 轴转动，最初杆自然下垂．一质量为m的泥团在垂直于水平轴的平面内以水平速度v0打在杆上并粘住．若要在打击时轴不受水平力作用，试求泥团应打击的位置．(这一位置称为杆的打击中心) 解：选泥团和杆为系统，泥团打击时系统所受外力为Mg、 N2mg、N1 (水平力)、N2 (竖直力)，如图． 1分 1N1O 杆的质心C点在距轴l处，设刚打击后，系统的角速度为?，2 xC1则C点速度为 vC?l?． Mg2?设打击处距轴的距离为x，将动量定理用于水平方向，有 1mg ?N1dt?mv?MvC?mv0?mx??M?l??mv0 3分 2系统对轴O的角动量守恒， 11xmv0?xmv?J??x2m??Ml2??(x2m?Ml2)? 33xmv0故 ?? ② 3分 22(xm?1Ml)3 39 xmv0将②式代入①式得 ?N1dt?(mx?1Ml)?mv0 2221(xm?Ml)3xmv0若要N1＝0，应有：(mx?1Ml)?mv0?0，∴ x＝(2 / 3)l 3分 222(xm?1Ml)33.42、（0857）、设行星的质量为m，它绕太阳运动的角动量为L0，试推导行星绕太阳运动的掠面速度（即行星的矢径单位时间内扫过的面积）表达式． ?? 解：∵?M0= 0（行星受的力矩），∴?L0= 常矢量 1分 故行星作平面运动． ??dr?r L0?mrvsin??mrsin? 2分 dt1???S?面积? ?S?r?rsin? 1分 O mv?r2??r?S1?r ?∵ ?rsin? ?t2?t?L1drdS?S∴ sin??0?常量 1分 ?lim?r2mdt?t?0?t2dt ? L 40 第四章 功 和 能 一、基本要求 1、掌握：保守力、功、场、势能物理量的概念和动能定理； 2、能借助于形象思维和联想，建立质点动力学方程求功和能； 3、能熟练地应用能量守恒和微积分求解功、保守力场的势能等问题 二、内容提要 1、质点的动能定理：作用于质点的合力在某一路程中对质点所做的功，等于质点在该路程的始末状态动能的增量。 2、质点系的动能定理：一个质点系的总动能的增量等于质点系的外力和内力做功的总和。 3、机械能守恒定律：在一个孤立系统内非保守力不做功，则该系统的机械能保持不变； 数学表达式：A外 = 0 和 A非保内 = 0；Ek + Ep = 恒量 ??（3.24） 4、功能原理：一个质点系的机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的和，称为系统的功能原理； 数学表达式：A外 + A非保内 = ΔE = E- E0 ??（3.25） 9、能量守恒定律：能量既不能消灭，也不能创生；它只能从一种形式转换为另一种形式，其总和保持不变。 三、解题思路 1、要明确功是一个质点运动过程有关的量，即“过程量”。计算功时要清楚质点移动的路径，然后沿着路径进行力的线积分。只有保守力的功才与路径无关，而用势能差来求相应的保守力从初始位置到终了位置的过程中所做的功。功是两矢量的标积，是标量，但是有正负； 2、动能定理说明功和能的关系。这一关系显示了功的正负的意义。外力对质点做正功，质点的动能增加；而负功意味着质点的动能将减小。利用关于质点系的动能定理计算质点系的动能变化时，不可忘记系统内力做功的影响； 3、利用机械能守恒定律解题和利用动量守恒定律解题的思路相同。在分析系统的运动状态时，要着重分清初态和终态系统内各质点动能和势能，从而计算出初态和终态系统的总机械能。如果系统内无非保守力作用，机械能的改变就只由系统所受的外力的功决定。关于势能的计算，一定要明确势能零点的选举择； 4、关于质点和质点系的问题，有三条守恒定律（动量、角动量和机械能）可利用。因此，在解力学问题时，除直接利用牛顿定律外，要自觉地想到用守恒定律进行分析。当然，要注意这些守恒定律的条件是各不相同的。