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第三章 动量守恒和角动量守恒
一、 要求
1、 掌握质点的动量定理、动量守恒定律，通过质点在平面内的运动情况理
解角动量、动量矩和角动量守恒定律； 2、掌握运用守恒定律分析问题的方法；能分析简单系统在平面内的运动的力学问题。
3、通过质点在平面内的运动情况，理解角动量（动量矩）和角动量守恒定律，
并能用它们分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。掌握运用守恒定律分析问体的思想和方法，能分析简单系统在平面内的运动的力学问题。
二、内容提要
1、力：单位时间内，另一质点传给它的动量，就是作用在该质点上的力的度量，数学表达式为：F?t2dPd(mv)dv??m?ma（牛顿运动第二定律） dtdtdt2、冲量：I??Fdt，称为在该时间间隔内作用在该质点上的冲量。
t13、动量定理：合外力的冲量等于质点（或质点系）动量的增量， 即，Fdt?dP?dmv， 其中 P?mv；
4、动量守恒定律：系统所受合外力时，其动量的增量为：P??mvi
i5、对于惯性中某一定点，力F的力矩：M?r?F，
6、质点的角动量： L?r?P?mr?v；
7、质点的角动量定理：作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。
tL积分形式： ?Mdt??dL?L?L0 ， 微分形式：M外?t0L0dL dt8、角动量守恒定律：如果某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。 则
dL?0， L??Li = 常量 dti
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三、解题思路
1、利用动量定理分析问题的方法和步骤，仍然是解题“三字经”： 认物体 认清题目内容后，要选一个物体（抽象为质点）作为分析的对象。如果问题涉及几个物体，则要依此选一个物体逐个进行分析，对每个物体要标出其质量；
看运动 对认定的物体要分析出体目給出的（或演示）的运动状况，包括其运动的轨迹、速度和加速度。同时涉及几个问题时，要逐个进行分析它们运动的状态，并还有找出它们速度和加速度的关系。要注明速度和加速度是相对什么参考系而言，一般都是对惯性系（如：地面、地心或把太阳都看成是惯性参考系）说的；
查受力 要找出被认定的物体所受的力，并用箭头标出其受的力，箭头的尾部画在物体的作用点上。物体对其他物体的反作用力与该物体的加速度无关，一般受到的力就是那几种常见的力。为做到清楚无误地分析物体的受力，要画出清晰的示力图和物体运动的轨迹，以及其速度和加速度的方向。特别要注意参考系，如果要用非惯性系解题，要事先明确所选的有加速度的参考物，然后在每一个分析对象上还要加上一个惯性力的作用；
不过有时直接用矢量表示式，根据矢量图的几乎关系求解更为方便和直观。 2、应用动量守恒定律解题时，也用解题“三字经”，不过这里要注意：首先要认定相互作用的几个物体作为分析的对象，对它们的运动要分清初始和终了的两个状态。在分析力时，要特别分析系统所受的合外力（即系统内各物体所受系统外物体的外力的矢量和）是否为零？只有当合外力为零时，才能有总动量守恒的结果（有时外力可以忽略，也可以用动量守恒公式）。很多的情况是系统所受的合外力在某一方向上为零，则总动量沿这一方向的分量也守恒。 3、应用角动量定理时，首先要明确力矩和角动量的定义的矢量积的数学意义。例如，力矩并不简单地是力和位矢的代数和，角动量也不简单地是质量、位矢和速率的乘积。要明确它们都是乯两个矢量定义的一个新的矢量；
4、应用角动量守恒定律于质点的运动时，首先要明确计算力矩和角动量时所采用的定点的位置。对于力矩，不但当F=0或r=0（即力的作用线通过定点）时，该力的力矩为零，而且力和质点的位矢平行和反平行时，该力的力矩也为零。对质点的角动量也应该注意：质点的速度和位矢平行和反平行时，质点对定点的角动量也为零。只有当质点的速度与位矢的方向垂直时，质点的角动量的大小才等于位矢和速度大小的乘积；
5、在用角动量守恒求解问题时，要注意参考系的确定，应以定轴所在的参考系为准。
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四、思考题解答
花样滑冰运动员想高速旋转时，她先把一条腿和两臂伸开，并用脚蹬冰使自己转起来，然后她再收拢腿和臂，她的转速就明显地加快了，这利用可什么原理？ 答：花样滑冰运动员的一条腿和两臂伸开时，对与起竖直中心轴线的转动惯量J1显然大于收拢腿和臂时的转动惯量J2。忽略她收拢腿和臂时用脚蹬冰过程中的磨擦力矩，其他外力矩为零，因而她对中心轴线的的角动量守恒。设?1和?2分别为收拢腿和臂前后的角速度，那么：I1?1?J1?2，由于J1?J2，所以她的转速就明显地加快了。
五、习题精解
3.1、一质量为1 kg的物体，置于水平地面上，物体与地面之间的静摩擦系数
???＝0.20，滑动摩擦系数?＝0.16，现对物体施一水平拉力F＝t+0.96(SI)，则2秒末物体的速度大小v＝__0.89 m/s ____________．
题意分析：在0?1 s内, F
解题思路：从题意分析中得出解题思路：由力对时间的积累，即力对时间的积分，求出冲量，再求速度。
2解题：在1 s?2 s内, I??(t?0.96)dt??mg(t2?t1)?0.89N?s
1由 mv – 0=I， 可得 v = I/m=0.89 m/s
3.2、假设作用在一质量为10 kg的物体上的力，在4秒内均匀地从零增加到50 N，使物体沿力的方向由静止开始作直线运动．则物体最后的速率v
?1
＝____5 m · s ___________． 解题思路：∵力在4秒内均匀地从零增加，可设f(t)?kt，
44已知：
?0f(t)dt?50N，又∵?f(t)dt??mv，∴v?050?5m/s。 103.3、在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射
一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） （A） 总动量守恒
（B） 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向的动量不守恒。 （C） 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒。 （D） 总动量在任何方向的分量均不守恒。 [ C ]
解：取炮车和炮弹为一系统，发炮过程中，所受外力为重力和地面支持力，均是垂直方向，在水平方向不受外力作用，所以总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒，总动量不守恒。
3.4、设作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3（SI），如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0s的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小I = 18N.S 。 提示：I??2.00?6t?3?dt??3t2?3t?02.0?18N.S。
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???03.5、一质量为m的物体，以初速v0成从地面抛出，抛射角??30，如忽略
空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中
（1） 物体动量增量的大小为 mv0 。 （2） 物体动量增量的方向为 竖直向下 。
????????提示：?p?p2?p1
?p?mv0sin30???mv0sin30?
00mv0300 ???p mv03.6、质量为M=1.5kg的物体，用一根长为ι=1.25m的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m=10g的子弹以v0?500ms的水平速度射穿物体，刚穿出物体时
?mv0
300 子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短，求： （1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解：（1）取m+M为一个系统，因作 用时间极短，作用力极大，所以在水 ???v0平方向动量守恒， m v即 mv0?m?M V ∴ V?? M ?v m?v0?v?M?3.13ms，
MV2?26.5N （2）f?t?mv?mv0??4.7N.S，与v0反向。 ∴ T?Mg??3.7、物体在恒力F作用下作直线运动，在时间?t1内速度由0增加到v，在时间?t2内速度由v增加到2 v，设F在?t1内作的功是W1，冲量是I1，在?t2内
作的功是W2，冲量是I2．那么：(A) W1 = W2，I2 > I1．(B)W1 = W2，I2 < I1． (C) W1 < W2，I2 = I1． (D) W1 > W2，I2 = I1． [ C ] 解题思路：分析物体在恒力F作用下作直线运动，冲量是I1?F?t1，I2?F?t2， 1、∵动量定理：I1?mv，I2?2mv?mv?mv，∴I1?I2；
1132、∵功能原理：W1?mv2，W2?m(4v2?v2)?mv2，∴W1?W2；
2223、结论：(C) W1 < W2，I2 = I1．为正确答案。
3.8、两个质量相等、速率也相等的粘土球相向碰撞后粘在一起而停止运动. 在此过程中，由这两个粘土球组成的系统，
(A) 动量守恒，动能也守恒． (B) 动量守恒，动能不守恒． (C) 动量不守恒，动能守恒． [ B ]
(D) 动量不守恒，动能也不守恒．
解题思路：分析物体会发生形变的粘土球。在此过程中，由这两个粘土球组成的系统所受外力为零，即动量守恒；但是，碰撞时发生了形变，损失了部分能量。所以， 动量守恒，动能不守恒，（B）为正确答案。
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3.9、一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法是正确的？ （A）质点的动量改变时，质点的动能一定改变。 （B）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变。 （C）外力的冲量是零。外力的功一定为零。
（D）外力的功为零，外力的冲量一定为零。 [ C ]
解题思路：根据它们的定义、概念，具体问题具体研究，进行判断。
（A）质点的动量改变时，若只是其方向的改变，而大小不变，质点的动能
一定不改变，比如质点做匀速率圆周运动就是这种情况。排除（A）；
（B）质点的动能不变时，质点的动量不一定不变，比如质点做匀速率圆周运动就是这种情况。排除（B）；
t2∵冲量I??Fdt，是力对时间的积累，外力为零时，冲量才能为零，所以功
t1一定为零；而外力的功为零（正功等于负功），只要外力作用，外力的冲量就一定不为零。排除（D），选（C）。
3.10、质量分别为m1和m2的两个小球，连接在劲度系数为k的轻弹簧两端，并置于光滑的水平支点上，如图，今以等值反向的水平力F1，F2分别同时作用于两个小球上，若把两小球和弹簧看作一个系统，则系统在运动过程中。 ????（A） 动量守恒，机械能守恒； F1F2 ｍｍ２ １ （B） 动量守恒，机械能不守恒；
（C） 动量不守恒，机械能守恒； （D） 动量不守恒，机械能也不守恒； K [ B ]
?????????提示：对系统，在水平方向上，F1?F2?O，动量守恒；∴P?e 对系统，重力势能不变，A外?F1x1?F2x2?0 ∴E?C，机械能不守恒。
3.11、一个物体可否具有动量而无机械能？ 可以 （填可，否）
说明：一个物体可以具有动量而无机械能，比如说：当子弹射入沙箱，在前进的过程中，受沙子的摩擦而发热，具有动量；发热的过程中将机械转化为热能，所以其机械能为零，动量不为零。
3.12、假设作用在一质量为10 kg的物体上的力，在4秒内均匀地从零增加到50 N，使物体沿力的方向由静止开始作直线运动．则物体最后的速率v
?1
＝____5 m · s ___________． 解题思路：∵力在4秒内均匀地从零增加，可设f(t)?kt，已知：
44?0f(t)dt?50N， 又∵?f(t)dt??mv，∴v?050?5m/s。 103.13、一质量为M的质点沿x轴正向运动，假设该质点通过坐标为x的位置时速度的大小为kx (k为正值常量)，则此时作用于该质点上的力F =___Mk2x__，
1x该质点从x = x0点出发运动到x = x1处所经历的时间?t =___ln1_____．
kx0