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x?2k?2,k?N?上的函数h?x?，使当x???2,0?时，h?x??f?x?，当x?D时，h?x?取得最大值的自变量的值构成以x0为首项的等差数列。
解：（1）当b?0时，f?x??ax?4x，
2若a?0，f?x???4x，则f?x?在?2,???上单调递减，不符题意。
?0??a故a?0，要使f?x?在?2,???上单调递增，必须满足?4 ，∴a?1 。
?2??2a（2）若a?0，f?x???24?2b?bx，则f?x?无最大值，故a?0，∴f?x?为二
2次函数，
要使f?x?有最大值，必须满足??a?02?4?2b?b?0，即a?0且1?5?b?1?5，
此时，x?x0?4?2b?b2时，f?x?有最大值。
a4?2b?b2?a?Z，则
a又g?x?取最小值时，x?x0?a，依题意，有
a2?4?2b?b2?5??b?1?，
2∵a?0且1?5?b?1?5，∴0?a2?或b?3。
5?a?Z?，得a??1，此时b??1∴满足条件的实数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?。
（3）当实数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?时，f?x???x?2x
2依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。 如对x??2k?2,2k?，k?N,x?2k???2,0?，
此时，h?x??h?x?2k??f?x?2k????x?2k??2?x?2k?，
2故h?x????x?2k??2?x?2k?,x??2k?2,2k?,k?N。
2
7. 已知等差数列?an?的首项为p，公差为d(d?0).对于不同 的
1自然数n，直线x?an与x轴和指数函数f(x)?()x的图像分别交于点
2，记Bn的坐标为(an,bn)，直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2An与Bn（如图所示）
1
y B1 B2 B3 A1 A2 O A3 x 1
的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形AnAn?1Bn?1Bn的面积为sn. (1)求证数列?sn?是公比绝对值小于1的等比数列；
(2)设?an?的公差d?1，是否存在这样的正整数n，构成以bn,bn?1,bn?2为边长的三角形？并请说明理由；
(3)（理）设?an?的公差d(d?0)为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列?sn?各项的和s?2010？并请说明理由.
（文）设?an?的公差d?1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列?sn?各项的和
s?2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由.
1p?(n?1)d解．（1）an?p?(n?1)d，bn?() ??2分
2sn?d1p?(n?1)d1d111[()?()p?nd]??()p?[()(n?1)d?()nd]， 2222222sn?1sn111()nd?()(n?1)d1?()d12?2=d2?()d，所以数列?sn?是等比数列且公
1122?1()(n?1)d?()nd22对于任意自然数n，
1比q?()d，因为d?0，所以q?1 4分
2（写成sn?d1a1?nd1111[()?()a1?(n?1)d]?d?(1?2d)?()a1?1?()nd，得公比q?()d也可） 2222221（2）an??1?(n?1)?n?2，bn?()n?2，对每个正整数n，bn?bn?1?bn?2 ??6分
2111以bn,bn?1,bn?2为边长能构成一个三角形，则bn?2?bn?1?bn，即()n?()n?1?()n?2，1+2>4，
222这是不可能的?9分
所以对每一个正整数n，以bn,bn?1,bn?2为边长不能构成三角形?10分 （3）（理）由（1）知，0?q?1，s1?所
以
s1d(2d?1)S??1?q2p?1(2d?1)d(1?2d)2p?1?2d ??11分
??14分 若
S?d(2d?1)2p?1(2d?1)?2010，则2?pd(2d?1)2?2010?(2d?1) ??16分
d(2d?1)两边取对数，知只要a1?p取值为小于log2的实数，就有S>2010??18分
2?2010?(2d?1)说明：如果分别给出a1与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。
1
1
（文）s1?322?p，q?3s31 ??11分 所以S?1?p?1 ??14分
1?q22如果存在p使得S?2p?1两边取对数得：p??log21340，
?2010，即2p?31 ??16分 ?40201340因此符合条件的p值存在，log21340?10.4，可取p= ?11等 ??18分 说明：通过具体的p值，验证S?
8．函数f(x)?解。
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程0，
若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a= (2)f(x)=
32p?1?2010也可。
x(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个ax?bx1=x的解，所以=1无解或有解为
ax?bax?b1。 22x，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立， x?22m取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)
m?22x2(?4?x)又m= –4时，f(x)+f(–4–x)==??=4成立(充分性) ?x?2?4?x?2所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
x?22
)，设x+2=t，t≠0， x?2t?42281616442222
则|AP|=(t+1)+()=t+2t+2–+2=(t+2)+2(t–)+2=(t–)+2(t–tttttt442
)+10=( t–+1)+9， tt (3)|AP|=(x+3)+(
2
2
所以当t–
?1?17?5?174+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3
22t9.已知元素为实数的集合S满足下列条件：①1、0?S；②若a?S，则
1?S 1?a
?1?若?2,?2??S，求使元素个数最少的集合S；
?2?在上一小题求得的集合S中，任取3个不同元素a,b,c，求使abc??1的概率。
1
1
?3?（理）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜
测正确。 解 ?1?2?S?1111??1?S???S??2?S；
11?21???1?21?211131?2?S???S???S???2?S
1231???2?31?1?32113???使?2,?2??S的元素个数最少的集合S为?2,?1,,?2,,?
232???2?设a,b,c是S???2,?1,?113?,?2,,?中三个不同元素，且使abc??1，由于S中仅有2232?个负数，故只有如下两种可能：2???1??113??1,??2?????1?所相对的概率为232P?21 ?3C610?3?非空有限集S的元素个数是3的倍数 证明如下：
设a?S,则a?0,1且 a?S?11a?11?S???S??a?S1a?11?aa1?1?1?aa?*?
由于a?故 a?1?a2?a?1?0?a?1?，但a2?a?1?0无实数根 1?a1a?1?11a?1a?1?同理,?,?a??a,??S 1?a1?aaa?1?aa?在
若存
b?S，而
1a?1??b??a,,?1?aa??，则
1b?1??,?b,??S1?bb??且
1a?1??1b?1??a,,?b,,?????? ?1?aa??1?bb?（若?b,1b?1?1a?1???,,?中有元素??a,?，则利用前述的?*?式可知b?1?bb1?aa????1a?1??a,,??） ?1?aa?1
1
于是?a,1a?11b?1??,,b,,??S
1?bb??1?aa上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止?S的元素个数为3的倍
数。
10.已知二次函数f(x)?ax?bx(a、b为常数且a?0)满足条件：f(?x?5)=f(x?3)，且方程f(x)=x有等根。 (1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m,n(m?n)，使f(x)的定义域和值域分别是?m,n?和?3m,3n??如果存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由。
21?b??112???a??解: (1)由条件易得?2a??2,∴f(x)??x?x??7分
2???(b?1)2?0??b?1? (2)假设存在这样的m、n满足条件,由于f(x)??1211x?x??(x?1)2? 22211
所以3n≤即n≤<1,故二次函数f (x)在区间[m,n]上是增函数, 从而有
26
?f(m)?3m?m??4,0???m?n?m??4,n?0 ??f(n)?3n?n??4,0
11．已知函数f(t)?at2?bt?14a(t?R,a?0)的最大值为正实数，集合
A?{x|x?a?0}， x集合B?{x|x2?b2}。
（1）求A和B； （2）定义A与B的差集：A?B?{x|x?A且x?B}。设a，b，x均为整数，且x?A。P(E)为x取自A?B的概率，P(F)为x取自A?B的概率，写出a与b的二组值，使P(E)?2，3P(F)?1。 3（3）若函数f(t)中，a,b是（2）中a较大的一组，试写出f(t)在区间?n???2?,n?上的8?最大值函数g(n)的表达式。
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