1
2（1）∵f(t)?at?bt?1?b4a14a(t?R)，配方得f(t)?a(t?b2)2a?b?14a，由
a?0得最大值
?0?b?1。
23 ∴A?{x|a?x?0}，B?{x|?b?x?b}。 （2）要使P(E)?，P(F)?1。可以使①A中有3个元素，A?B中有2个元素，A?B中有31个元素。则a??4,b?2。
②A中有6个元素，A?B中有4个元素，A?B中有2个元素。则a??7,b?3
1??4n2?2n?16,n????1（3）由（2）知f(t)??4t2?2t?1(t?[n?2,n])g(n)??,?82?n?016168?1?4n2?16,n?0??28
12．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0,都有函数值f(x0)?D,则称函数y?f(x)在D上封闭。
(1)若定义域D1?(0,1),判断下列函数中哪些在D1上封闭，
121x?x?1,f3(x)?2x?1,f4(x)?cosx. 225x?a(2)若定义域D2?(1,2),是否存在实数a使函数f(x)?在D2上封闭,若存在,求出
x?2且给出推理过程.f1(x)?2x?1,f2(x)??a的值，并给出证明，若不存在，说明理由。
12解：（1）∵f1(∵f2(x)=-(x+
12)=0?(0,1)，∴f(x)在D1上不封闭；(2?)
2
)+
98在(0,1)上是减函数，∴0＜f2(1)＜f2(x)＜f2(0)=1，
∴f2(x)?(0,1)?f2(x)在D1上封闭；(4?)
x
∵f3(x)=2-1在(0,1)上是增函数，∴0=f3(0)＜f3(x)＜f3(1)=1， ∴f3(x)?(0,1)?f3(x)在D1上封闭；(6?)
∵f4(x)=cosx在(0,1)上是减函数，∴cos1=f4(1)＜f4(x)＜f4(0)=1， ∴f4(x)?(cos1,1)?(0,1)?f4(x)在D1上封闭；(8?)
10（2）f(x)=5-ax??2，假设f(x)在D2上封闭，对a+10讨论如下：
f(1)?1?a?2?a=2 (10?) 若a+10＞0,则f(x)在(1,2)上为增函数，故应有?????f(2)?2?a?2若a+10＝0，则f(x)=5，此与f(x)?(1,2)不合，(12?)
f(1)?2?a??1,无解,(14?) 若a+10＜0，则f(x)在(1,2)上为减函数，故应有?????f(2)?1?a??6 综上可得，a=2时f(x)在D2上封闭.
2?3n?2(n?N)，试求{an}最大项的值； 13．（1）已知数列{an}的通项公式：an?3n?11an?p（2）记bn?，且满足（1），若{(bn)3}成等比数列，求p的值；
an?2C?p,C1??1,C1?2，且p是满足（2）的正常数，试证：（3）（理）如果Cn?1?nCn?11
1
对于任意
自然数n，或者都满足C2n?1?2,C2n?2；或者都满足C2n?1?2,C2n?2。 （文）若{bn}是满足（2）的数列，且{(bn)}成等比数列，
试求满足不等式：?b1?b2?b3???(?1)n?bn?2004的自然数n的最小值。 解 （1）an?的值为4。
（2）欲使{(bn)3}成等比数列，只需{bn}成等比数列。
∵bn?an?pan?21132(3n?1)?43?1n?2?43?1n，∴an?2?43?1n?43?11?2，则an?4。即{an}的最大项
?2?p4?3n?2?p4Cn?2Cn?1 （3）（理）p?2，Cn?1?C2?2,?,Cn?2。
?0或4?0即可。，∴只需解得p?2或p??2。
?1?C1?1，∵C1??1，∴Cn??1。又C1?2，∴
n2?p42?p ∵
(C2n?2)(C2n?1?2)?(1?2)(C2n?1?2)C2n?1?1?0，∴
C2n?1?2,C2n?2；或
C2n?1?2,C2n?2。
n （文）∵p??2不合题意，∴p?2?bn?3，
据题意，
?3[1?(?3)n]1?(?3)?2004?(?3)n?1??4019，nmin?8。
14、已知数列?an?中，a1?1,a2n?qa2n?1,a2n?1?a2n?d（q,d?R） (1)若q?2,d??1，求a3,a4,并猜测a2006；
(2)若?a2n?1?成等比数列，?a2n?成等差数列，求q, d满足得条件；
(3)一个质点从原点出发，依次安向右，向上，向左，向下的方向交替运动，第n次运动的
位移是an，质点到达点Pn，设点P4n的横坐标为x4n，若d?0,limx4n?x??2，求q。 3解：(1) a3?1,a4?2,a2006?2
(2)a2n?1?qa2n?1?d, 当d＝0，显然成立；
当d?0，a1?1,a2n?1?1，则q?d?1；a2n?q?a2n?2?d? 当q?1，显然成立； 当q?1，只有an?q,则q?d?1
232n?3?q2n?1limx4n?(3)xn?1?q?q?q?……?qx??211??q? 31?q2
15．若函数f(x)对定义域中任一x均满足f(x)?f(2a?x)?2b，则函数y?f(x)的图像关于点(a,b)对称。
x2?mx?m（1）已知函数f(x)?的图像关于点(0,1)对称，求实数m的值；
x1
1
（2）已知函数g(x)在(??,0)?(0,??)上的图像关于点(0,1)对称，且当x?(0,??) 时，
g(x)?x2?ax?1，求函数g(x)在x?(??,0)上的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x?0及t?0，恒有g(x)?f(t)，求实数a的取值范围。
解：（1）由题设可得f(x)?f(?x)?2，解得m?1； （2）当x?0时，g(x)?2?g(?x)??x?ax?1； （3）由（1）得
2f(t)?1?tt?1(t?，0 )其最小值为f(1?)，3a2a2g(x)??x?ax?1??(x?)?1?，
242a2a当?0，即a?0时，g(x)max?1??3，得a?(?22,0)，
42① ②当
16. 已知函数f(x)?log1(x?1)，当点P(x0，y0)在y?f(x)的图像上移动时，
2ag(x)max?1?3，即a?0时，得a?0[,??)?0，
2，由①、②得a?(?22,??)。
点Q(x0?t?1在函数y?g(x)的图像上移动． ， y0（)t?R）2（1） 若点P坐标为（1，，点Q也在y?f(x)的图像上，求t的值； ?1）（2） 求函数y?g(x)的解析式；
（3） 当t?0时，试探求一个函数h(x)使得f(x)?g(x)?h(x)在限定定义域为[0， 1)时有最小值而没有最大值．
解：（1）当点P坐标为（1，，点Q的坐标为(1?t?1，?1） ?1)，????2分
2∵点Q也在y?f(x)的图像上，∴?1?log1(1?t?1)，即t?0．??5分
22（根据函数y?f(x)的单调性求得t?0，请相应给分）
??x?x0?t?1x0?2x?t?1（2）设Q(x，，即 ??8 y)在y?g(x)的图像上 则?2y?y0??y?y0?分
而P(x0，y0)在y?f(x)的图像上，∴y0?log1(x0?1) 代入得，
21
1
y?g(x)?log(2x?t)为所求．?11分
12xo?lg（3）或h()h(x)?log11?x；
22x?t123?x2 等． ??15分 如：当h(x)?log11?x22x?t2x?t时，
f(x)?g(x)?h(x)?log1(x?1)?log1(2x?t)?log11?x?log(1?x2)
2222x?t12∵1?x2在[0， 1)单调递减， ∴0?1?x2?1 故 log1(1?x2)?0，
2即f(x)?g(x)?h(x)有最小值0，但没有最大值．??18分 （其他答案请相应给分）
（参考思路）在探求h(x)时，要考虑以下因素：①h(x)在[0， 1)上必须有意义（否则不能参加与f(x)?g(x)的和运算）；②由于f(x)和g(x)都是以1为底的对数，所以构造的函数
2这样与f(x)和g(x)进行的运算转化为真数的乘积运算；③以h(x)可以是以1为底的对数，
21为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起2见，可以考虑通过乘积消去g(x)；⑤乘积的结果可以是x的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线x?1的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二
2次函数的图像与x轴已有了一个公共点(?1 0)，，故对称轴又应该是y轴或在y轴的右侧（否则该二次函数的值在[0，，即若抛物线与x轴的另一个公共点 1)上的值不能恒为正数）是(a， 0)，则1?a?2，且抛物线开口向下．
17．已知函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，当x?[?2,0)时，f(x)?tx?常数）。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）当t?[2,6]时，求f(x)在??2,0?上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在
13x（t为2?0,2?上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当t?9时，证明：函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。
1
1
11(?x)3??tx?x3 221 ∵函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，即f??x???f?x?, ∴?f?x???tx?x3，
211即 f(x)?tx?x3，又可知 f?0??0, ∴函数f(x)的解析式为 f(x)?tx?x3 ，
22解：（1）x??0,2?时，?x???2,0?， 则 f(?x)?t(?x)?x???2,2?
（2）f?x??x?t???112?x?，∵t?[2,6]，x???2,0?，∴t?x2?0 2?2∵ ?f?x??211?22x?t?x2?t?x2??1?22?x2?t?x2???3??2?????38t?? 27???3∴x2?t?2t6t6t2612(????2,0?)时，fmin??tt 。 x，即 x2?,x??33392??6t??。 3?任
取
猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间为?0,（
3
）
t?9时，
?2?x1?x2?2，∵
?122?f?x1??f?x2???x1?x2??t?x1?x1x2?x2??0
?2?∴f?x?在??2,2?上单调递增，即f?x???f??2?,f?2??，即f?x???4?2t,2t?4? ∵t?9，∴4?2t??14,2t?4?14，∴14??4?2t,2t?4?
∴当t?9时，函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。
18．对数列?an?，规定??an?为数列?an?的一阶差分数列，其中?an?an?1?an(n?N)。 对自然数k，规定
????a?kn为
?an?的k阶差分数列，其中
?kan??k?1an?1??k?1an??(?k?1an)。
22 （1）已知数列?an?的通项公式an?n?n(n?N),，试判断??an?，?an是否为等
??差或等比数列，为什么？
2n （2）若数列?an?首项a1?1，且满足?an??an?1?an??2(n?N)，求数列?an?的
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