1
（9分）
∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴kAD?kBD??1，即
y1?2y2?2???1， x1x2∴(y1?2)(y2?2)?x1x2?0?(kx1?3)(kx2?3)?x1x2?0,(11分)
132k)?3k??9?0.(12分) 223?k3?k14解得k2?7,?k??14?(?13,13)，故存在k值??，所求k值为?.
48422∴(k2?1)x1x2?3k(x1?x2)?9?0?(k2?1)(?
24．已知数列an}的前n项和Sn满足Sn?1?kSn?2,又a1?2,a2?1. （1）求k的值；
（2）求Sn；
（3）是否存在正整数m,n,使
说明理由
解
：
（
1
）
Sn?m1?成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，
Sn?1?m2?S2?kS1?21??2分 2?a1?a2?ka1?2 又
a1?2,a2?1,2?1?2k?2?k?（2）由（I）知Sn?1?11Sn?2 ① 当n?2时，Sn?Sn?1?2 ② ①－②，得22an?1?1an(n?2)?4分 2又a2?1a1，易见an?0(n?N*)2?an?11?(n?N*) an212?[1?(?)n]112于是{an}是等比数列，公比为，所以Sn??4(1?n)??6分
1221?214(1?n)?mS?m112?，即? 整理得2?2n(4?m)?6??8分 （3）不等式n1Sn?1?m224(1?n?1)?m2n
假设存在正整数m,n使得上面的不等式成立，由于2为偶数，4?m为整数，则只能
是2(4?m)?4
n1
1
?2n?2,?2n?4,??或??10分 ?4?m?2;?4?m?1因此，存在正整数m?2,n?1;或m?3,n?2,使Sn?m1??12
Sn?1?m2
25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M(1,?3)、N(5,1)，若点C满足
2OC?tOM?(1?t)ON（t?R），点C的轨迹与抛物线：y?4x交于A、B两点.
（1）求证：OA⊥OB；
（2）在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P直线交抛物线于D、E两点，并以该弦
DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由. 解：1）解：由OC?tOM?(1?t)ON（t?R）知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y?3?1?(?3)?(x?1)即y?x?4?.2分 4?y?x?4?(x?4)2?4x?x2?12x?16?0 ∴x1x2?16x1?x2?12 由?2?y?4x∴yy?(x1?4)(x2?4)?x1x2?4(x1?x2)?16??16∴x1x2?y1y2?0故OA⊥
OB. ??6分
2）解：存在点P(4,0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 ????7分
故设弦所在的直线方程为：x?ky?4代入y?x得y?4ky?16?0 ∴y1?y2?4ky1y2??16kOA?kOB?22y1y2yy1616??12?22????1 x1x2y1y2?16y1y244∴OA?OB故以AB为直径的圆都过原点 ??..10分 设弦AB的中点为M(x,y)则x?11(x1?x2)y?(y1?y2) 22x1?x2?ky1?4?ky2?4?k(y1?y2)?8?k?(4k)?8?4k2?8∴弦AB的中点M的轨迹方程为：
?x?2k2?42消去k得y?2x?8. ???14分 ??y?2k26．设函数f(x)?ex?m?x,其中m?R.
1
1
（1）求函数f(x)的最值；
（2）给出定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上连续，并且有f(a)?f(b)?0，那么，函数y?f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在x0?(a,b),使得f(x0)?0.
运用上述定理判断，当m?1时，函数f(x)在区间(m,2m)内是否存在零点.
x?m解：（1）?f(x)在(??,??)上连续,f?(x)?e?1, 令f?(x)?0,得x?m.???2
分
当x?(??,m)时,ex?m?1,f?(x)?0;当x?(m,??)时,ex?m?1,f?(x)?0.(1)所以,当x?m时,f(x)取极小值也是最小值.?f(x)min?f(m)?1?m;由（1）知f（x）无最大值.???6分 （2）函数f（x）在[m，2m]上连续.
而f(2m)?em?2m,令g(m)?em?2m,则g?(m)?em?2,?m?1,?g?(m)?e?2?0,
?g(m)在(1,??)上递增.??8分
由
g(1)?e?2?0得g(m)?g(1)?0,即f(2m)?0,??10分
又f(m)?1?m?0,?f(m)?f(2m)?0,根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点. ?12分
27．已知函数f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3???anxn(n?N?), 且y?f(x)
的图象经过点(1, n), 数列{an}为等差数列. (1) 求数列{an}的通项公式 (2) 当n为奇数时, 设g(x)?21[f(x)?f(?x)], 问: 是否存在自然数m和M, 使得不2等式m?g()?M恒成立? 若存在, 求出M?m的最小值; 若不存在, 请说明理由.
2解: (1)由题意得f(1)?n,即a0?a1?a2???an?n. 令n?1, 则a0?a1?1,令
122n?2,
22则a0?a1?a2?2,a2?4?(a0?a1)?3.令n?3, 则a0?a1?a2?a3?3, a3?9?(a0?a1?a2)?5.??(3分)
设等差数列{an}的公差为d, 则d?a3?a2?2,a1?a2?d?1,a0?0,??(5分) ∴an?1?(n?1)?2?2n?1.??(6分)
23n(2)由(1)知: f(x)?a1x?a2x?a3x???anx. n为奇数时,
1
1
f(?x)??a1x?a2x2?a3x3???an?1xn?1?anxn.??(7分)
11∴g(x)?[f(x)?f(?x)]?a1x?a3x3?a5x5???an?2xn?2?anxn?g()
2211111?1??5?()3?9?()5???(2n?5)?()n?2?(2n?1)?()n.??①
22222111111?g()?1?()3?5?()5???(2n?5)?()n?(2n?1)?()n?2,??②(9分) 4222223111111由①－②得: ?g()?1??4[()3?()5???()n]?(2n?1)?()n?2,
4222222114131n21∴g()???()?()n()n.??(10分)
2992322111设Cn?n()n, ∵Cn?1?Cn?(1?n)?()n?0,(n?N?),
32321311∴Cn随n的增加而减小.又?()n随n的增大而减小, ∴g()为n的增函数. ??(12
922分) 当
n?1时,
11g()?22,而
114131n2114g()???()?()n()n?,2992329∴
1114?g()?.??(13分) 2291由此易知: 使m?g()?M恒成立的m的最大值为0,
2M的最小值为2, M－m的最小值为2. ??(14分)
28．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn＝
1*
（n∈N），Sn＝b1＋b2＋?＋bn，是否存在最大的整数t，使得任意
n(an?3)的n均有Sn＞
t总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由． 362
解：（Ⅰ）由题意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）， ??2 分
2
整理得2a1d＝d．
*
∵a1＝1，解得（d＝0舍），d＝2． ???4 分 ∴an＝2n－1（n∈N）． ??6 分
n1111111nbn???(?),?sn??bi?(1?)?（Ⅱ），?
n(an?3)2n(n?1)2nn?12n?12(n?1)i?110 分
假设存在整数t满足Sn＞
tn?1n总成立. 又Sn+1－Sn＝－＝
2(n?2)2(n?1)361＞0，
2(n?2)(n?1)1
1
∴数列{Sn}是单调递增的． ???12 分 ∴S1＝
t11为Sn的最小值，故＜，即4364t＜9．
又∵t∈N，∴适合条件的t的最大值为8． ??? 14 分
29．已知数列{an}满足：a1?2，a2?3，2an?1?3an?an?1(n≥2)． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求使不等式
*
an?m2＜成立的所有正整数m、n的值．
an?1?m3解 （1）由2 an+1 = 3an－an－1（n≥2），得 2（an+1－an）= an－an－1，
11，因此数列{ an－an－1 }是以a2－a1 = 1为首项，为公比的等比数列，
an?an?1221∴an?an?1?()n?2，????4分
2∴
an?1?an?于是 an =（an－an－1）+（an－1－an－2）+ ? +（a2－a1）+ a1
11?()n?141112 =()n?2?()n?3????1?a1=?2?4?n． ???6分
122221?244?n?ma?m222?，得 ?， （2）由不等式n4an?1?m334?n?1?m2(4?m)?2n?42(4?m)?2n?8??0，即 ?0，?? 8分 ∴
(4?m)?2n?233[(4?m)?2n?2]所以 2＜（4－m）· 2＜8． ∵ 2为正偶数，4－m为整数，
n n
∴ （4－m）· 2= 4，或 （4－m）· 2= 6，
n
n
?2n?2,?2n?4,?2n?2,?2n?6,∴ ? 或 ? 或 ? 或 ?
4?m?2,4?m?1,4?m?3,4?m?1.?????n?log26,?n?1,?n?2,?n?1,解得 ? 或 ? 或 ? 或 ?
?m?3.?m?2,?m?1,?m?3,经检验使不等式
an?m2?成立的所有正整数m、n的值为
an?1?m3（m，n）=（1，1）或（2，1）或（3，2）．??12分
1(3an?an?1)， 21723?1171524?1?∴ a3?(3?3?2)??，a4?(3??3)?， 222222425n1157312?12?14a5?(4??)??a??4?，??，于是 ． n3n?2n2428222说明 问题（1）的归纳做法是：由已知可得an?1?
1