1
通项公式。
12n （3）对（2）中数列?an?，是否存在等差数列?bn?，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切自然n?N都成立？若存在，求数列?bn?的通项公式；若不存在，则请说明理由。
解：（1）?an?an?1?an??n?1???n?1??n?n?2n?2，∴??an?是首项为4，
22??公差为2的等差数列。
公差为0的等差数列；也是首项为?2an?2?n?1??2??2n?2??2∴?2an是首项为2，
2，公比为1的等比数列。
（2）?2an??an?1?an??2n，即?an?1??an??an?1?an??2n，即?an?an?2n，∴an?1?2an?2n
∵a1?1，∴a2?4?2?2，a3?12?3?22，a4?32?4?2，猜想：an?n?2n?1 证明：ⅰ）当n?1时，a1?1?1?2； ⅱ）假设n?k时，ak?k?2k?1
013??n?k?1时，ak?1?2ak?2k?k?2k?2k??k?1??2?k?1??1 结论也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an?n?2n?1
12n12n?b2Cn???bnCn?an，即 b1Cn?b2Cn???bnCn?n?2n?1 （3）b1Cn123n012n?1n?1?2Cn?3Cn???nCn?nCn?C?C???C?n?2∵1Cn ?1n?1n?1n?112n?b2Cn???bnCn?an对一切自然n?N都成∴存在等差数列?bn?，bn?n，使得b1Cn??立。
yx219．如图，过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，
ab若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
A x22?y?1的“左特征点”M的坐标； (1)求椭圆5 (2)试根据(1)中的结论猜测： F M B y2x2椭圆2?2?1(a?b?0)的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论． ab
2y O 1
1
x2解：设M(m，0)为椭圆?y2?1的左特征点，椭圆的左焦点为F(?2,0)，
5 设直线AB的方程为x?ky?2(k?0)
x2 将它代入?y2?1得：(ky?2)2?5y2?5，即(k2?5)y2?4ky?1?0
54k1 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1?y2?2，y1y2??2
k?5k?5 ∵∠AMB被x轴平分，∴kAM?kBM?0
y1y2即，??y1(x2?m)?y2(x1?m)?0??0x1?mx2?my1(ky2?2)?y2(ky1?2)?(y1?y2)m?0
14k∴2ky1y2?(y1?y2)(m?2)?0， 于是2k?(?2)?2(m?2)?0
k?5k?555 ∵k?0，∴1?2(m?2)?0，即m?? ∴M(?，0)
22x2a252 (2)解：对于椭圆?y?1，a?5，b = 1，c = 2，∴??．
5c2y2x2 于是猜想：椭圆2?2?1的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点．
ab证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为C、D
AFBFAFAC?? 据椭圆第二定义：，即 ∵AC//FM//BD，∴ACBDBFBDAFBF?CMDM
于是
ACBD?CMDM，即
ACCM?BDDM
∴tan?AMC?tan?BMD，又?AMC与?BMD均为锐角，∴?AMC??BMD，∴
?AMF??BMF
∴MF为∠AMB的平分线，故M为椭圆的“左特征点”．
20．数列{an}中，a1?3a?416,当n≥2时，an?n?1.
7?an?13
（1）求a8,a9,a10的值；
（2）是否存在自然数m,当n>m时，an<2;当n≤m时，an>2?若存在，求出m的值；若不存在，
说明理由。
（3）当n≥10时，证明解（1）a8?an?1?an?1?an. 23a7?43a?43a?44?12, a9?8??8, a10?9??.
7?a77?a87?a931
1
(2)an-2=
3an?1?45(an?1?2)?2?,∴当an-2＜2时，an＜2, 又a9=-8＜2,
7?an?17?an?1故当n＞8时an＜2。 由an=
3an?1?47a?45(an?2)得an-1=n, an-1-2=.∴当an＞2时，an-1＞2。
7?an?13?an3?an又a8=12＞2，∴当n≤8时，an＞2。
综上所述，满足条件的m存在，且m=8. (3)an-1+an+1-2an
=(
7an?43?an-an)+(
3an?4?an7?an)=
?(an?2)2(an?2)22(an?2)3??.
an?37?an(7?an)(an?3)a10=-
4∈（-3，2）。 3下面证明，当n≥10时，-3＜an＜2，其中当n≥10时，an＜2已证，只需证当n≥10时， an＞-3。 an+3=
3an?1?425+3=
7?an?17?an?125＞0，即an＞-3.∴当n≥10时，-3＜an＜2。
7?an?1当an-1∈（-3，2）时，
a?an?12(an?2)3因此，当n≥10时，an-1+an+1-2an?＜0，即n?1＜an.
(7?an)(an?3)2
21．设数列｛an｝的首项为1，前n项和为Sn，且对任意大于或等于2的自然数n，等式3tSn－(2t+3)Sn-1=3t成立。
(1）若t为正常数，证明数列{an}成等比数列，并求数列的公比q及前n项和；
3
（2）对（1）中求得的q，若t为变量，令f(t)=q,设函数g(t)=3tf(t),且设t∈R，求g(t)的单调区间和极值；
（3）研究g(t)－k=0的解的个数. 2t+3a22t+3解：(1)由题可知，当n＝2时，3tS2-(2t+3)S1=3t?a2=,又a1=1,所以=,
3ta13t当n≥2时。由3tSn-(2t+3)Sn-1=3t
an2t+3
与3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t两式相减可得3tan-(2t+3)an-1=0?=, an-13t由上可知，对于自然数n都有若t=3时，q=1,此时Sn=n
an2t+32t+3=式子成立，故｛an｝成等比数列，且公比q= an-13t3t
1
1
2t+3n1(1- () )nn
3t(3t)-(2t+3)
若t>0,t≠3时，则Sn= = . n2t+3(3t)-1(t-3)1-3t
2t+332t+3322
(2)由题可知：q=f(t)=,?g(t)=3t?g(t)=2t+3t,??g'(t)=6t+6t=6t(t+1)；所
3t3t以
t g(t) g(t) （-∞，1） －1 （－1,0） 0 （0，＋∞） + 增 1 - 减 0 + 增 当t=-1时，g(t)有极大值1 当t=0时，g(t)有极小值0 (3)画出y=g(t)及y=k的图象可得：
当k>1或k<0时，有一解当k=1或k=0时，有二解当0 22、已知各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,且2Sn?an(an?1)(n?N*) （1）求数列?an?的通项； （ 2 ） 是 否 存 在 正 整 数 p,q，使不等式 1a1?1a2?????1an?2(pn?q?1)(n?N*)对所有正整数n均成立，并证明你 的结论。 1 2Sn?an(an?1)????○2 解：（1）2Sn?1?an?1(an?1?1)?????○ 22(1)?(2)得2an?1?an?1?an?1?an?an,整理得(an?1?an)(an?1?an?1)?0??（2分） ?an?1?an?0?an?1?an?1??（4分）又?2S1?a1(a1?1)?a1?1?an?n?? （6分） (2)假设存在正整数p,q使该不等式对所有正整数n均成立,则取n?1,有19?2(p?q?1)即p?q?4a1?p,q?N*?p?q?1???（8分） 下面用数学归纳证明不等式 1 1 111?????2(n?1?1)成立 (1)当n?1时,1?2(2?1)成立a1a2an(2)假设当n?k时,不等式成立,即111?????2(k?1?1)成立12k111111将该不等式两端同时加上,不等式仍然成立,即??????2(k?1?1)?k?112kk?1k?1欲证上面不等式成立只需证2(k?1?1)??2(k?2?1)成立即可。k?11欲证该式成立,只需证?2(k?2?k?1)成立，k?11即2k?1??2k?1?k?2?k?1?k?1?k?2k?2?k?1 该不等式显然成立 ?当n=k+1时不等式也成立。 综上（1）、（2）对任意n?N?命题都成立。 23．已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l:x?1,P为该平面上一动点，作PQ?l，垂足为Q，且（PC?2PQ)?(PC?2PQ)?0. （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程； （2）设直线l:y?kx?1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在， 说明理由. 解：（1）设P的坐标为(x,y)，由(PC?2PQ)?(PC?2PQ)?0得 |PC|2?4|PQ|2?0（2分） ∴（x?4)2?y2?4(x?1)2?0, x2y2x2y2化简得??1. ∴P点在双曲线上，其方程为??1. 412412（2）设A、B点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)， 由 ?y?kx?1?2?xy2?1???412 得 (3?k2)x2?2kx?13?0,?x1?x2?2k13， ,xx??123?k23?k222∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即4k?4(3?k)(?13)?0,解得?13?k?13.221