2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？
解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：
11E?hcRH(2?2) 其中hcRH?13.6电子伏特
1n1E1?13.6?(1?2)?10.2电子伏特
21E2?13.6?(1?2)?12.1电子伏特
31E3?13.6?(1?2)?12.8电子伏特
4其中E1和E2小于12.5电子伏特，E3大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到n波长为：
?4的能级上去，所以只能出现n?3的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的
1?11?RH(11?)?5RH/362223??1?6565A?21?RH(113?)?RH22412?
?2?1215A?3?RH(118?)?RH22913??3?1025A2.4 试估算一次电离的氦离子He、二次电离的锂离子Li的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。
解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。 a)
氢原子和类氢离子的轨道半径：
??4??0h2n2n2r??a1,n?1,2,3??Z4?2mZe24??0h2其中a1??0.529177?10?10米，是氢原子的玻尔第一轨道半径；224?me
??Z是核电荷数，对于H,Z?1；对于H,Z?2；对于Li，Z?3；rZZ1r??1因此，玻尔第一轨道半径之比是He?H?,Li?H?rHZH?2rHZLi??3e?b) 氢和类氢离子的能量公式：
2?2me4Z2Z2E???E1?2,n?1,2,3?? 222(4??0)nhn2?2me4??13.6电子伏特，是氢原子的基态能量。其中E1?? 22(4??0)h电离能之比：
0?EHe0?EH?2ZHe?2?4,ZH0?ELi0?EHc)
???2ZLi??
Z2H?9第一激发能之比：
2222E12?E1221EHe?EHe21?4?212EH?EH112E12?E1221 2233E12?E1221ELi?ELi21?9?21EH?EH1212E12?E1221d)
氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：
n1?1,2,3??112~v?ZR(2?2)，{n2?(n1?1),(n1?2)??
n1n22?2me4其中R?(4??0)2h3是里德伯常数。
氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：
~H?R(1?1)?1v11222?H相应地，对类氢离子有：
111He?2~v1?2R(2?2)?He?12?1111Li??2~v1?3R(2?2)?Li??12?1因此，
He?Li???11?11?,? HH4?19?12.5 试问二次电离的锂离子Li从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子He的电子电离掉？
解：Li由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：
?????He?的电离能量为：
11vHe?4hcRHe(2?)?4hcRHe?1hvLi??27RLi271?m/MHe???hvHe?16RHe161?m/MLi?
由于MHe?MLi,所以1?m/MHe?1?m/MLi，
?hvHe?，所以能将He?的电子电离掉。
?1.0967758?107米?1，氘
从而有hvLi??2.6 氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（H?）光谱线之间的波长差??有多大？已知氢的里德伯常数RH的里德伯常数RD?1.0970742?107米?1。
解：
1?H1?RH(11?)，?H?36/5RH 2223?D?RD(11?)，?D?36/5RD 22323611(?)5RHRD
????H??D??1.79A?2.7 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长?为多少
A？
?解：
11?Re?e?(2?2)?R??12111?mm?33?R 48?81???米?2430A
3R?3?109737312.8 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n轨道，发射光子的频率?n。当n>>1时光子频率即为电子绕第n玻尔轨道转动的频率。
证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的波数为：vn1~?1?R[1?] 22?nn(n?1)频率为：vn?c??Rc[112n?1?]?Rc n2(n?1)2n2(n?1)22当n>>时，有(2n?1)/n(n?1)2?2n/n4?2/n3，所以在n>>1时，氢原子中电子从n+1
轨道跃迁到n轨道所发光子的频率为：vn设电子在第n轨道上的转动频率为
?2Rc/n3。
fn，则
fn?vmvrP2Rc 其中r书中（8）式。 ???2232?r2?mr2?mrn因此，在n>>1时，有
vn?fn
由上可见，当n>>1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道转动的频率。这说明，在n很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。
2.9
Li原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：
。已知锂原子电离成Li???~?vRR?(1?0.5951)2(n?0.0401)2???离子需要203.44电子伏特的功。问如
把Li离子电离成Li离子，需要多少电子伏特的功？
解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以Li离子电离成Li???离子时，有
E1?R?hcRhcRhc???5.35电子伏特 22?(1?0.5951)(1?0.5951)Li??是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此Li???Li???时，电离能E3为：
Z2Rhc2RE3??ZR?hc?122.4电子伏特。
21设Li??Li??的电离能为E2。而Li?Li???需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有
E2?E?E1?E3?75.7电子伏特
2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？
答：设原子的磁矩为?，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为?Z，于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为
F??Z?B?Z，其中
?B?B是磁场沿Z方向的梯度。对均匀磁场，?0，?Z?Z原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场，
?B?0原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。 ?Z?B2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为?103特
?Z?5?102米/
斯拉/米，磁极纵向范围L1=0.04米(见图2-2)，从磁极到屏距离L2=0.10米，原子的速度v秒。在屏上两束分开的距离d影响可忽略不计）。
?0.002米。试确定原子磁矩在磁场方向上投影?的大小（设磁场边缘的
解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在L2区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域L1后向外射出时粒子的速度为v，出射方向与入射方向间的夹角为?。?与
?'速度间的关系为：tg??v?v
粒子经过磁场L1出射时偏离入射方向的距离S为：
S?1?BL12()?Z……（1）
2m?Zv将上式中用已知量表示出来变可以求出?Z
f??B?,t?L1/vmm?Z??BL1?v??Zm?Zv
?Z?BL1L2S'?L2tg??m?Zv2dd??BL1L2S??S'??Z22m?Zv2v??at,a?把S代入（1）式中，得：
2d?Z?BL1L2?Z?BL1??22m?Zv2m?Zv2整理，得：
?Z?BL12m?Zv2(L1?2L2)?d2