19．解不等式组
考点：解一元一次不等式组。
分析：首先解出不等式组中的x的取值范围，然后找出它们的公共部分，该公共部分就是不等式组的解集． 解答：解：原不等式可以化为：
，
解得：，
∴不等式组的解为x≥3．
点评：本题考查解不等式组，求出不等式公共解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．为了了解某县12000名中学生体育的达标情况，现从七、八、九年级学生中共抽查了1000名学生的体育达标情况作为一个样本，制作了各年级学生人数分布情况、各年级达标人数的两张统计图．
（Ⅰ）样本中七年级学生共有 360 人，七年级学生的体育达标率为 90 ； （Ⅱ）三个年级学生中体育达标率最高的是哪个年级？答： 九年级 ； （Ⅲ）估计该县体育达标的学生人数有多少人．
考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图。 专题：图表型。 分析：（1）样本中七年级学生人数=抽查的1000名学生×七年级学生所占的百分比36%；七年级学生的体育达标率=七年级达标的人数÷样本中七年级学生人数×100%．
（2）运用各年级达标的人数分别除以各年级的总人数，求出三个年级学生体育达标率，再进行比较． （3）先求出所有学生达标率，可估计该县体育达标的学生人数=12000×所有学生达标率． 解答：解：（Ⅰ）样本中七年级学生人数是：1000×36%=360（人），七年级学生的体育达标率为：324÷360×100%=90%； （Ⅱ）八年级学生的体育达标率为：300÷（1000×34%）×100%≈88%； 九年级学生的体育达标率为：276÷（1000×30%）×100%=92%． ∵92%＞90%＞88%， ∴三个年级学生中体育达标率最高的是九年级． （Ⅲ）所有学生达标率为：（324+300+276）÷1000×100%=90%； ∴12000×90%=10800（人）．
答：估计某县体育达标的学生人数有10800人．
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点评：本题主要考查学生对数据的处理能力，并使学生了解扇形统计图、条形统计图各自的特点和作用，以及用样本估计总体等知识．
21．（2009?长春）如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线y=（x＞0）于点N；作PM⊥AN交双曲线y=（x＞0）于点M，连接AM．已知PN=4． （1）求k的值．（2）求△APM的面积．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义。 专题：计算题。
分析：（1）根据P的坐标为（2，），PN=4先求出点N的坐标为（6，），从而求出k=9．
（2）由k可求得反比例函数的解析式y=．根据点M的横坐标求出其纵坐标y=，得出MP=﹣=3，从而求得S△APM=×2×3=3．
解答：解：（1）∵点P的坐标为（2，）， ∴AP=2，OA=． ∵PN=4，∴AN=6， ∴点N的坐标为（6，）．
把N（6，）代入y=中，得k=9．
（2）∵k=9，∴y=． 当x=2时，y=． ∴MP=﹣=3． ∴S△APM=×2×3=3．
点评：主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
中k的几何意义．这里体现了数形
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22．（2011?滨州）如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC． 求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA=OP?BC．
2
考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：（1）因为PM切⊙O于点M，所以∠PMO=90°，又因为弦AB是直径，所以∠ACB=∠PMO=90°，再有条件弦AC∥PM，可证得∠CAB=∠P，进而可证得△ABC∽△POM； （2）由（1）可得
，又因为AB=2OA，OA=OM；所以2OA=OP?BC．
2
解答：证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M， ∴∠PMO=90°， ∵弦AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠PMO， ∵AC∥PM， ∴∠CAB=∠P， ∴△ABC∽△POM；
（2）∵△ABC∽△POM， ∴
，
又AB=2OA，OA=OM， ∴
2
，
∴2OA=OP?BC．
点评：本题考查了切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心和相似和圆有关的知识，具有一定的综合性．
23．今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，如图，在A处测得航标C在北偏东60°方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（供考生参考的数据：≈1.732）
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考点：解直角三角形的应用-方向角问题。 分析：过点C作CD⊥AB于点D，在直角△ACD和直角△BDC中，AD，BD都可以用CD表示出来，根据AB的长，就得到关于CD的方程，就可以解得CD的长，与120米进行比较即可． 解答：解：过C作CD⊥AB于D，设BD=x， ∵CD⊥AB且∠CBD=45°∴BD=CD=x 在Rt△ACD中，tan30°=∴
解得x=50（+1）≈137 ∵137＞120，
故这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．
点评：本题考查了解直角三角形的知识，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 24．（2011?徐州）某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）件的函数关系式； （2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？ 考点：二次函数的应用。 专题：应用题。 分析：（1）单价上涨x（元），由单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件得到销售量为（300﹣10x）件，根据利润等于销售价减成本得到每件的利润为（80﹣60+x），因此每月销售该商品的利润y等于月销售量×每件的利润；
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（2）把（1）得到的函数关系式进行配方得到y=﹣10（x﹣5）+6250，然后根据二次函数的最值问题易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大． 解答：解：（1）y=（80﹣60+x）（300﹣10x），
2
=﹣10x+100x+6000；
（2）y=﹣10x+100x+6000，
2
=﹣10（x﹣5）+6250， ∵a=﹣10＜0， ∴当x=5时，y有最大值，其最大值为6250，
即单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．
点评：本题考查了利用二次函数的最值问题解决实际问题中的最大或最小值问题：先根据题意得到二次函数关系式，然后配成顶点式，根据二次函数的性质求出最值．也考查了利润的概念．
2
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25．（2011?六盘水）如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4．将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长．
（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？ （3）当t（0＜t＜3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。
专题：综合题。 分析：（1）由折叠可知△AOE≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等，以及对应角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根据勾股定理求出AB的长，设出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而写出点E的坐标，再在直角三角形AOE中，根据勾股定理求出AE的长即可；
（2）根据两组对边互相平行得到四边形MNDP为平行四边形，又∠ADE为直角，所以MNDP为矩形，根据题意表示出AP的长，进而得到PD的长，又由平行得到两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，将各自的值代入表示出PM的长，由矩形的面积公式长乘以宽和表示出的长DP与宽PM，表示出矩形的面积，得到面积与t成二次函数关系，利用二次函数求最值的方法求出面积S的最大值及取得最大值时t的值即可； （3）根据题意发现有两种情况满足△ADM为等腰三角形，①当MD=MA时，P为AD中点，由AD求出AP，进而根据速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到△APM≌△AFM，求出MF=MP，即为M的纵坐标，求出FA，进而求出OF的长，即为M的横坐标，写出M的坐标即可；②当AD=AM=3时，由平行的两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，求出AP的长，由速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到△APM≌△AFM，同理可得M的坐标． 解答：解：（1）据题意，△AOE≌△ADE， ∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3， 在Rt△AOB中，
，
2
2
2
设DE=OE=x，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD+DE=BE， 即2+x=（4﹣x），解得
2
2
2
，∴E（0，）
在Rt△AOE中，；
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