体系通关三 考前专项押题练
[小题押题练 A组] （建议用时：40分钟）
1．设复数z＝2＋bi(b∈R)且|z|＝22，则复数z的虚部为 A．2
B．±2i
C．±2
D．±22
( )．
解析 |z|＝4＋b2＝22，解得b＝±2. 答案 C
2．已知集合A＝{x|x2>1}，B＝{x|log2x>0}，则A∩B＝ A．{x|x>－1} C．{x|x>1}
B．{x|x>0}
D．{x|x<－1，或x>1}
( )．
解析 A＝{x|x>1，或x<－1}，B＝{x|x>1}，∴A∩B＝{x|x>1}． 答案 C
3．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为 A．30°
( )．
B．45° C．60° D．90°
解析 设AC中点为O，则OE∥SC，连结BO，则∠BEO(或其补角)即为异面121
直线BE和SC所成的角，EO＝2SC＝2，BO＝2BD13AB2266
＝2，在△SAB中，cos A＝SA＝＝4＝
2AB2＋AE2－BE21
，∴BE＝2.△BEO中，cos∠BEO＝2，
2AB·AE∴∠BEO＝60°. 答案 C
4．下列命题是真命题的是
( )．
A．a>b是ac2>bc2的充要条件 B．a>1，b>1是ab>1的充分条件
C．?x∈R，2x>x2 D．?x0∈R，ex0<0
解析 A中，当c＝0时，a>b?/ ac2>bc2，错误；C中，当x＝2时，2x＝x2，错误；D中，对于?x∈R，ex>0，错误；B正确． 答案 B
5．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是 A．102 C．81
( )．
B．39 D．21
解析 第一次循环：S＝0＋1331＝3，n＝1＋1＝2，满足n<4；
第二次循环：S＝3＋2·32＝21，n＝2＋1＝3，满足n<4；
第三次循环：S＝21＋3·33＝102，n＝3＋1＝4，不满足n<4；循环结束，此时S＝102. 答案 A
?x－y＋5≥0，6．已知x，y满足?x≤3，则z＝2x＋4y的最小值为
?x＋y≥0，
A．5
B．－5
C．6
D．－6
解析 画出线性约束条件下的平面区域． ?x＝3，由?得点P(3，－3)． x＋y＝0?
此时z＝2x＋4y达到最小值，最小值为－6. 答案 D
?π?1?π?
7．若cos ?＋x?＝3，则cos ?－2x?＝
?4??2?7
A．－9
1
B．－9
8
C.9
7D.9
( )．
( )．
?π?1
解析 ∵cos ?＋x?＝3，
?4?
7?π??π?
∴cos ?＋2x?＝2cos 2?＋x?－1＝－9，
?2??4?77?π?
??即sin 2x＝9，∴cos －2x＝sin 2x＝9. ?2?答案 D
x2y22
8．已知双曲线C1：b>0)的离心率为2，若抛物线Cx＝2py(p>0)2－2＝1(a>0，2：ab的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 ( )． 83
A．x2＝3y C．x2＝8y
163
B．x2＝3y D．x2＝16y
p?c?
解析 依题意知，e＝a＝2，抛物线C2的焦点?0，2?，双曲线C1的一条渐近
??b
线方程为y＝ax，即bx－ay＝0，则16y. 答案 D
9．若函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是( )． A．(－5，1) C．[－2，1)
B．[－5，1) D．(－2，1)
p
|a32|a2＋b
ap|2|p12
＝＝3＝2，∴p＝8，∴x＝2c22
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝1或－1，所以f(x)的大致图象如图所示，
f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最?－2≤a<1，
小值，则?解得－2≤a<1. 2
6－a>1，?答案 C
10．已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题： ①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m，n是两条异面直线，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α；其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①错误；②正确；③正确；④正确；
( )．
答案 C
π
11．f(x)＝3sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<2)的最小正周期为π.且f(－x)＝f(x)，则下列关于g(x)＝sin(ωx＋φ)的图象说法正确的是 ?ππ?
A．函数在x∈?－，?上单调递增
3??47π
B．关于直线x＝12对称
π??
C．在x∈?0，?上，函数值域为[0，1]
6???π?
D．关于点?，0?对称
?6?
解析 f(x)＝3sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) π??
＝2sin ?ωx＋φ＋?，
6??∴
2π
＝π，即ω＝2，
( )．
ωπ??
∴f(x)＝2sin ?2x＋φ＋?.
6??
πππ
又f(－x)＝f(x)，∴φ＋6＝2，即φ＝3， π??
∴g(x)＝sin ?2x＋?，
3??
7ππ7ππ3π
∴当x＝12时，2x＋3＝2312＋3＝2， 7π
故g(x)关于直线x＝12对称． 答案 B
1
12．设函数f(x)的零点为x1，函数g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|>4，则f(x)可以是( )．
11
A．f(x)＝2x－2 B．f(x)＝－x2＋x－4 C．f(x)＝1－10x D．f(x)＝ln(8x－2)
1?1??1??11?解析 由g?4?＝2＋2－2<0，g?2?＝2＋1－2＝1>0，∴x2∈?4，2?.A中，x1
??????1111
＝4，不满足|x1－x2|>4；B中，x1＝2，不满足|x1－x2|>4；C中，x1＝0，满足|x11
－x2|>4，故选C. 答案 C
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________． 解析 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)，∵(a＋b)∥c，c＝(－1，2)，∴132－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1. 答案 －1
21
14．已知x＋y＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为________．
x2y?21?解析 (x＋y)?x＋y?＝3＋y＋x≥3＋22，当且仅当x＝2y时，等号成立．
??答案 3＋22
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝75°，则AD的长为________． 解析 在△ABC中，因为AB＝AC＝2，BC＝23，所以
∠C＝30°，又∠ADC＝75°，所以∠DAC＝75°，所以CD＝CA＝2，由余弦定理得：AD2＝CD2＋AC2－2CD3AC3cos C＝8－43.所以AD＝6－2. 答案
6－2
16．给出下列命题：
1
①抛物线x＝－4y2的准线方程是x＝1； x2＋3
②若x∈R，则2的最小值是2；
x＋2③a>1，b>1是ab>1的充分条件． 其中正确的是(填序号)________．
解析 ①抛物线的标准方程为y2＝－4x，所以其准线方程是x＝1正确；②若x2＋3x2＋2＋11122x∈R，则2＝＝x＋2＋≥2，当且仅当x＋2＝，
x＋2x2＋2x2＋2x2＋2即x2＝－1时取等号，显然错误；③当a>1，b>1时，必有ab>1；但ab>1?/ a>1，b>1(如a＝－1，b＝－2)．所以“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件，③正确．