【考点】HF：二次函数综合题． 【专题】537：函数的综合应用．
【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点， ∴M的坐标是（b，4b+1）， 把x=b代入y=4x+1，得y=4b+1， ∴点M在直线y=4x+1上；
（2）如图1
直线y=mx+5交y轴于点B，
，
∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上， ∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得b=2， 二次函数的解析是为y=﹣（x﹣2）2+9，
当y=0时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得x1=5，x2=﹣1， ∴A（5，0）． 由图象，得
当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
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（3）如图2，
∵直线y=4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F， A（5，0），B（0，5）得 直线AB的解析式为y=﹣x+5， 联立EF，AB得
方程组 ，
， 解得
∴点E（，），F（0，1）．
点M在△AOB内，
1＜4b+1＜
∴0＜b＜．
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣=﹣b，∴b=，
且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y=4x+1上，
综上：①当0＜b＜时，y1＞y2，
②当b=时，y1=y2，
③当＜b＜时，y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．
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24．（12分）（2018?嘉兴）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由． （2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求值．
（3）应用拓展：
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的 倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．
的
【考点】SO：相似形综合题． 【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，依据
∠ACB=30°，AC=6，可得AD=AC=3，进而得到AD=BC=3，即△ABC是“等高底”
三角形；
（2）依据△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，可得AD=BC，依据△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，点B是△AA′C的重心，即可得到BC=2BD，
==；
（3）①当AB= BC时，画出图形分两种情况分别求得CD= x= 或
设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC= x，即可得到
CD= AC=2 ；当AC= BC时，画出图形分两种情况讨论，求得CD=AB=BC=2．
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【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形；
理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，
∵∠ACB=30°，AC=6，
∴AD=AC=3，
∴AD=BC=3，
即△ABC是“等高底”三角形；
（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，
∴AD=BC，
∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC， ∴∠ADC=90°，
∵点B是△AA′C的重心， ∴BC=2BD，
设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x， 由勾股定理得AC= x，
∴==；
（3）①当AB= BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
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∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB= BC， ∴BC=AE=2，AB=2 ， ∴BE=2，即EC=4， ∴AC=2 ，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴∠DCF=45°， 设DF=CF=x， ∵l1∥l2，
∴∠ACE=∠DAF，
∴==，即AF=2x，
∴AC=3x=2 ， ∴x=
，CD= x= ．
Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD= AC=2 ． ②当AC= BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
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∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴A'C⊥l1， ∴CD=AB=BC=2；
Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE=BC，
∴AC= BC= AE， ∴∠ACE=45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上， ∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点， 综上所述，CD的值为
，2 ，2．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．
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