热力学与统计物理 课程教案
热力学与统计物理 课程教案
授课内容(教学章节): 第七章 玻耳兹曼统计 主讲教师： 教材分析: 授课班级 授课地点 1
本章根据玻耳兹曼分布讨论了玻色系统和费米系统的热力学性质。用统计物理学的方法研究了麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，理想气体的内能和热容量，理想气体的熵等。并且展示了热力学与统计物理的一些应用，如顺磁性固体；和前沿问题如负温度状态的实现等等。因此，本章在阐述基本理论的同时，有意识的培养学生的科研探究能力，激发他们对前沿领域的兴趣，为将来的学习和工作奠定基础。 教学目标: 知道热力学量的统计表达式，能应用玻耳兹曼统计讨论理想气体的物态方程，理解麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，知道理想气体的内能和热容量以及理想气体的熵，知道固体热容量的爱因斯坦理论、负温度状态等前沿科学。 教学重点与教学难点: 教学重点：热力学量的统计表达式，麦克斯韦速度分布律，能量均分定理的统计意义，固体热容量的爱因斯坦理论，负温度状态。 教学难点：理热力学量的统计表达式，想气体的内能和热容量，负温度状态。 教学内容 7.1热力学量的统计表达式 7.2理想气体的物态方程 7.3麦克斯韦速度分布律 7.4能量均分定理 7.5理想气体的内能和热容量 7.6理想气体的熵 7.7固体热容量的爱因斯坦理论 7.8顺磁性固体 7.9负温度状态 教学方法与手段 以讲授为主，结合多媒体教学，其中麦克斯韦速度分布律和能量均分定理采用热学和统计方法对比的方法进行教学，负温度状态采用讨论法展开教学。 课后作业：P286 7.1 7.2 7.4 7.5 7.8 7.9 7.11 7.12 7.13 7.14 7.16 7.20 小论文 1、负温度的物理意义以及如何实现负温度状态的？2、根据经典统计的能量均分定理讨论理想气体的热容量，所得结果与实验结果不符合的几个问题如何解释？ 教材与参考资料 教材：热力学与统计物理 汪志诚 高等教育出版社 主讲教师：
1
热力学与统计物理 课程教案
第七章 玻耳兹曼统计 7.1 热力学量的统计表达式
一、 定域系统的内能、广义力和熵统计表达式
2
在§6.8说过,定域系统和满足经典极限条件的玻色系统都遵从玻耳兹曼分布。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。本节首先推导热力学量的统计表达式。
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.所以 U??alεl??εlωle?α?βεl ①
ll引入函数Z1:Z1??εle?βεl ②
l 名为粒子配分函数。由式N??ωle?α?βεl ②，得：N?e?α?ωle?βεl?e?αZ1 ③
ll 上式给出参量?与N和Z1的关系,可以利用它消去式①中的?。经过简单的运
???N????βεl??算,可得：U?e?α?εlωle?βεl?e?α??ωe???lnZ1 ④ ??β??l??Z1??β?l??l式④是内能的统计表达式。
在热力学中讲过,系统在程中可以通过功和热量两种方法与外界交换能量。在无穷小过程中，系统在过程前后内能的变化dU等于在过程中外界对系统所作的功dW及系统从外界吸收的热量dQ之和：dU?dW?dQ。
如果过程是准静态的, dW可以表达为Ydy的形式,其中dy是外参量的改变量,Y是外参量y相应的外界对系统的广义作用力。
粒子的能量是外参量的函数。由于外参量的改变,外界施于处于能级εl的一个粒子的力为
?εl。因此，外界对系统的广义作用力Y为： ?yY??l?εl?εal??lωle?α?βεl?yl?y?1??1??N??βεl?α?????e?α??ωe?e?Z??lnZ1?β?y??l?β?y?1β?y??l??主讲教师：
2
⑤
热力学与统计物理 课程教案
N?lnZ1 β?V3
式⑤是广义作用力的统计表达式。它的一个重要例子是：P?在无穷小的准静态过程中,当外参量有dy的改变时,外界对系统所作的功是：Ydy?dy?l?εlal??aldεl ?ylll将内能U??alεl求全微分,有：dU??aldεl??εldal
l上式指出,内能的改变可以分成两项，第一项是粒子分布不变时由于能级改变而引起的内能变化，第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化。
在热力学中讲过,系统在过程中从外界吸收的热量与过程有关，因此dQ不是全微分而只是一个无穷小量。根据热力学第二定律可以证明, dQ有积分因子用
111乘dQ后得到完整微分dS：dQ??dU?Ydy??dS
TTT1,T?lnZ1??lnZ1?代入热力学基本方程，可得：dQ?dU?Ydy??N?d???Ndy ?????y??因为配分函数Z1是β、y的函数，lnZ1的全微分为：
dlnZ1??lnZ1?lnZ1dβ?dy ?β?y???因此，得：β?dU?Ydy??Nd? lnZ?βlnZ11????β??既然β和
11都是dQ的积分因子，可以令：β?
kTT根据微分方程关于积分因子的理论,当微分方程有一个积分因子时,它就有无穷多个积分因子,任意两个积分因子之比是S的函数。
????????由dS?Nkd?积分可得： lnZ?βlnZS?NklnZ?βlnZ11?11?????β?β????讨论熵的统计意义。将③式取对数，得：lnZ1?lnN?α 代入可得：S?k?NlnN?αN?βU??k?NlnN???α?βεl?al?
?l???主讲教师：
3
热力学与统计物理 课程教案
而由玻耳兹曼分布al?ωle?α?βεl4
可得：α?βεl?lnωl al所以S可以表为：S?k?NlnN????alnω?alna??llll? ll?比较可得：S?kln?
上式称为玻耳兹曼关系。玻耳兹曼关系给熵函数以明确的统计意义。某个宏观状态的熵等于玻尔兹曼常量k乘以相应微观状态数的对数。在热力学部分曾经说过，熵是混乱程度的量度，就是指上式而言的。某个宏观状态对应的微观状态数越多，它的混乱程度就愈大，熵也愈大。
二、满足经典极限条件的玻色(费米)系统热力学量的统计表达式
上述熵的表达式适用于粒子可分辨的系统（定域系统）。对于满足经典极限条件的玻色（费米）系统，由玻耳兹曼分布直接导出的内能和广义力的统计表达式仍适用。由于这些系统的微观状态数为?M.B./N!，如果要求玻耳兹曼关系仍成立，熵的表达式应改为：S?kln?M.B.。 N!综上所述可以知道，如果求得配分函数Z1，就可以求得基本热力学函数内能、物态方程和熵，从而确定系统的全部平衡性质。因此lnZ1是以β、y为变量的特性函数。在热力学部分讲过，以T、V为变量的特性函数是自由能F?U?TS。代入可得：
F??N????lnZ1?NkT?lnZ?βlnZ??NkTlnZ1或 11????β?β??F??NkTlnZ1?kTlnN!
两式分别适用于定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系统。
讨论经典统计理论中热力学函数的表达式。配分函数为：Z1??e?βεll?ωl。h0r取?ωl足够小，上式的求和可化为积分：
Z1??e?βεl主讲教师：
dωl?βε?p,q?dq1dq2?dqrdp1dp2?dpr ??err??h0h04
热力学与统计物理 课程教案
只要将配分函数改为上式，内能、物态方程和熵的统计表达式将保持不变。
5
7.2 理想气体的物态方程
一、用玻耳兹曼分布推导理想气体的物态方程
作为玻耳兹曼统计最简单的应用，本节讨论理想气体的物态方程。在§6.8说过，一般气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，我们将本节结束前对此详细加以分析。
为明确起见，考虑单原子分子理想气体。后面将说明，所得结果对双原子分子或多原子分子理想气体是同样适用的。在一定近似下，可以把单原子分子看作没有外场时，可以把单原子分子理想气体中分子的运动看作粒子在容器内的自由运动。其能量表达式为ε?122px?py?pz2 ①。 2m??其中px、py、pz的可能值由式给出。不过在宏观大小的容器内，动量值和能量值实际上是连续的。在dxdydzdpxdpydpz范围内，分子可能的微观状态数为：
dxdydzdpxdpydpzh3
β22??px?p21y?pz?dxdydzdp配分函数为：Z1?3???e2mxdpydpz ②
h?2πm?积分可得：Z1?V??h2β????3/2
其中V????dxdydz是气体的体积。 可求理想气体的压强为：P?N?NkTlnZ1? ③ β?VV上式是理想气体的物态方程。玻耳兹曼常量的数值就是将上式与实验测得的物态方程相比较而求得的。
对于双原子或多原子分子，分子的能量除式①给出的平动能量外，还包括转动、振动等能量。由于计及转动、振动能量后不改变分函数Z1对V的依赖关系，
主讲教师：
5