1、一道有趣的新编题
设D、E、F是△ABC的内切圆的切点，O、I分别是其外心和内心，
在DI、EI、FI的延长线上分别截取IA'＝IB'＝IC'＝R（外接圆半径）。 求证：AA'＝BB'＝CC'＝OI；且直线AA'、BB'、CC'共点于外接圆 上一点P，P关于△ABC的Simson线恰垂直于OI。
2、大家来讨论一下中等数学高248号问题怎么解决
本题结论优美，是Fuhrmann圆的推广。（当P点取垂心时即得到Fuhrmann圆）
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呵呵，没有必要Menelaus定理，有如下巧证：
如图，自A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，围成△DEF。取△DEF的内心I。
易见A1在以PD为直径的圆上，且因A1是BC弧中点，故D、I、A1共线。得∠PA1I＝90°。
同理∠PB1I＝∠PC1I＝90°。故A1、B1、C1、P、I五点共圆。证毕
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评注：
《近代欧氏几何学》第7章§207定理（曼海姆）：
“如图，设△DEF是△ABC的内接三角形，△DEF关于△ABC的Miquel点为M。 设任意三条共点直线AP、BP、CP交相应的Miquel圆于A1、B1、C1，则A1、B1、C1、M、P五点共圆。”
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取P为△ABC的内心，并改换△DEF作为立足点，即可得到原题。
3、垂极点研究
已知△ABC和任意直线x，自A、B、C作x的垂线，垂足分别为A′、B′、C′； 再自A′、B′、C′分别作对边BC、CA、AB的垂线，那么这三条垂线一定共点。
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这一结论用平方差原理不难论证，它属于两个三角形正交的一种退化情形。（其中退化三角形就是A′B′C′）
所共点X，可称为△ABC关于直线x的“垂极点”（orthopole），见《近代欧氏几何学》§406。
垂极点在近代欧氏几何里是个相对重要的概念，曾被Neuberg、Soons、Gallatly等人广泛研究。它与Simson线甚至费尔巴哈定理都有深刻联系，如：
性质1 倘若一条直线x与△ABC的外接圆相交，则其垂极点正是两个交点处
Simson线的交点。
性质2 若直线经过外心，则其垂极点在△ABC的九点圆上。
4、我于多年前也曾对垂极点作过一番考察，得到它的一些有趣属性，有机会再详作介绍。
如：
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