外接圆切线的垂极点，一定位于由Simson线的包络所形成的Steiner三叶内摆线上。
正由这一性质，就可以在几何画板中方便地作出轨迹型的Steiner三叶内摆线了：
另外还有一个奇妙结论，先介绍于此。
考虑直线x绕着定点P旋转，这时其垂极点的轨迹总是一个椭圆。有意思的是：这个椭圆始终与上述Steiner三叶内摆线保持相切！
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当旋转中心选为外心时，椭圆退化为圆——即△ABC的九点圆，这相当于上面的性质2；
（注：这也就表明，过外心的每条直线，相应于九点圆上某点。这是考察Feuerbach定理的一个有效视角。）
当旋转中心位于△ABC的外接圆上时，椭圆退化成这点对应的Simson线上的一条线段。我曾将此改编成一道习题，它与梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》复习题三第53题比较类似。 由于有了垂极点的协助，画Steiner三叶内摆线及其切线就易如弹灰。这里我又改进了上次传过的一个gsp文件：“Steiner三叶内摆线的切线”，在连续性上已有所改观，现重新传至公共邮箱，欢迎大家一试。（注：在第3页面）
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当直线平移时，其垂极点的轨迹显然是一条垂直于它的直线。
倘若将平移视作绕“无穷远点”的旋转，则还易说明这条轨迹（注：理解为无穷大椭圆）刚好是Steiner三叶内摆线的切线。
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一条直线并非总有资格作为Simson线，前提是它恰与Steiner三叶内摆线相切。 那么Simson线的垂极点又有什么特点呢？
几何画板显示Simson线的垂极点全体为一条经过垂心的三叶玫瑰形曲线，它恰好就是垂心H在Steiner三叶内摆线的动切线上射影的轨迹！
对此，可总结出如下：
命题 某点所对应的Simson线之垂极点，恰是垂心在其对径点所对应的Simson
线上的射影。
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由垂极点倒过去确定直线（可相应称为其垂极线）的问题相当深刻，体现了Simson线的实质。
垂极点对应的垂极线至多有三条，至少有一条。这与共有几条Simson线经过该点这一问题相吻合。也就是说：
若点X位于Steiner三叶内摆线外部时，它对应唯一的一条垂极线；
当点X在Steiner三叶内摆线的边界上时，它对应于两条垂极线；
当X位于Steiner三叶内摆线内部时，它对应于三条垂极线。
可将后者叙述成：
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