随机模型的建立：
我们首先从离散时间的情形出发,假定消费者t期的财富为W(t)和资产价格Pi在t期开始时是已知的,并定义Ni(t)为t期内,即t期到t+h期间(h>0)购买资产i的数量(NH(t)=H(t)),假定消费者进入t期开始时拥有投资于各种资产的财富， 并满足:W??Ni(t)Pi(t), （1）
i?A这样t期的消费C(t),住房首付率及按揭贷款的利率支付与资产拥有量Ni(t)具有如下关系：
?C(t)h?(1??)pH(t?h)H(t?h)h?rm?PH(t?h)H(t?h)h??[Ni(t)?Ni(t?h)]Pi(t),i?A （2）
因此，可以得到：
?C(t)h?(1??)pH(t)H(t)h?rm?PH(t)H(t)h??[Ni(t?h)?Ni]Pi(t?h)i?A??[Ni(t?h)?Ni(t)][Pi(t?h)?Pi(t)]i?A （3）
??[Ni(t?h)?Ni(t)]Pi(t)i?A当h趋向于0时，（1）式及（3）式可以变为:
W??Ni(t)Pi(t),i?A （4）
?C(t)dt?(1??)pH(t)H(t)dt?rm?PH(t)H(t)dt??dNi(t)dHi(t)??dNi(t)?Pi(t)i?Ai?A （5）
对（4）式中的W(t)取微分，并由It
o引理可以得到
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?dW(t)??Ni(t)Pi(t)??dNi(t)?Pi(t)??dNi(t)dPi(t). （6）
i?Ai?Ai?A（6）式中的最后两项
?dN(t)?P(t)??dN(t)dP(t)可以看成从非资本
iiiii?Ai?A性收入中新增长财富的净值（它可以为负）。即
dI(t)?C(t)dt?(1??)pH(t)H(t)dt?rm?PH(t)H(t)dt??dNi(t)?Pi??dNi(t)dPi(t)i?Ai?A （7）
因此我们可以得到代表性消费者的预算方程
dW(t)??Ni(t)Pi(t)?dI(t)?C(t)dti?A?(1??)pH(t)H(t)dt?rm?PH(t)H(t)dt. （8）
令ni(t)?Ni(t)Pi(t)/W(t),i?A，则为ni(t)为t期消费者所拥有
资产i的价值占总财富额的份额，由定义可知
?n(t)?1。为了方便起见，我
ii?A们省去时间标记t，这样便可以得到消费者的预算约束：
dW?[rFnFW?rSnSW?rHnHW?Y?(1??)nHW?rmnH?W?C]dt?nS?SWdzS?nH?HWszH.
（9）
假定代表性消费者的时间偏好率为η,因此,对于具有无限期界的代表性 消费者而言,其最优的资产组合选择和消费选择问题可以表述如下:
C,H,ni
maxE0?U(C(t),H(t))edt, （10）
0???t?W0 , （11）s..t W(0)
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dW?[rFnFW?rSnSW?rHnHW?Y?(1??)nHW?rmnH?W?C]dt?nS?SWdzS?nH?HWszH.
（12）
?n(t)?1. （13）
ii?A
随机模型的解：
我们运用动态规划方法来求解问题(12)—(15),我们首先定义值函数:
J(W,t)?maxEt?U(C,H)E??(s?t)ds, （14）
C,H,ni,i?A0?并令
J(W,t)?V(W,t)e??t,g?rFnFW?rSnSW?rHnHW?Y?(1??)nHW?
rmnH?W?C，可以得到 Hamilton-Jacobi-Bellman方程：
0?max[U(C,H)]??V?gV?W
C,H,ni,i?A122?(nS?S?2?nSnH?S?H?n2H?2H)W2V??WW] （15） 2定义：
?(n,C,H;W,t)?U(C,H)??V?gV?W （16）
1?(n2S?2S?2?nSnH?S?H?n2H?2H)W2V??WW. 2?CnH由问题的假设条件，存在、、满足（15）
0?max{?(n,C,H,w,t)}??C,H,ni,i?A**??(n,C,H;W,t),?t. 我们定义Lagrangian函数:
*
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L????[1??ni]i?A这样,最优化一阶条件(FOCs)为:
（18）
0?U?V,'H'C'W （19）
'W （20）
0?U?[rHPH?(1??)PH?rm?PH]V\2?PHWVWW(nH?H??ns?s?H)??PHW,0?rsWV?? （21）
'\20?rsWVW?W2VWW(ns?S??nH?S?H)?? （22）
'W'\20?rHWVW?W2VWW(nH?S??ns?S?H)?? （23）
其中,在问题（10）-（13）中，动态均衡时房地产价格的决定方程为：
rF?rF(rS?rS)?WPH?[2?]?22??H(1??)??S?H(1??)H
蛛网模型的建立：
（24）
有上面的假设可以得到一个这样的价格系统，成本决定理想价格；理想价格和房价决定需求量；理想价格和地产商的预测价格决定供应量；需求量和供应量有共同决定房价。
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求理想房价p?：
首先，将底价A转化为楼面地价C，其公式为： C?A? ①
2 其次，根据理想房价的求法得出其表达式： p??(1??1)?(B?C) ② 最后，将公式（1）代入公式（2），整理可得： p??(1??1)?B?(1??A1)?? ③
2令
(1??1)??a,(1??1)?B?b，a和b为不为正常数，则可得：2p??b?a?A ④
从公式③和④中，可以看出：
第一，地价与理想房价之间为线性正相关关系；
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