(1)lim(x?sinx)x?0(2)lim3sinxx?0(3)lim(x?1)cosx
x?1(4)limx??sinxx21x(5)limx2sinx?0五、无穷小的比较
定义 设?和?是同一变化过程中的两个无穷小，即lim ?=0和lim?=0 (１) 如果lim??0，那么称?是?的高阶无穷小； ????，那么称?是?的低阶无穷小； ???c(c?0)，那么称?是?的同阶无穷小； ???1时，则称?与?是等价无穷小,记作： ???。 ?(２) 如果lim(３) 如果lim特别是当c=1时，即当lim例1 选择题
（1）当x?0时，变量x2是变量3x的（ ）
[A]高阶无穷小； [B]低阶无穷小； [C]同阶无穷小；[D]等价无穷小
x2x?lim?0, 选A 解：(1)limx?03xx?03（2）当x?0时，变量3x是变量2x的（ ）
[A]高阶无穷小； [B]低阶无穷小； [C]同阶无穷小；[D]等价无穷小
3x3? ，选C 解：(2)limx?02x2
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第1章 函数、极限与连续 第1.3节 极限的运算
【教学目的与要求】
1.掌握极限的四则运算法则并熟练运用法则求解极限问题； 2.熟悉熟练掌握用两个重要极限求极限的方法； 3.了解利用无穷小量的等价替换求极限的方法．
【教学重点、难点】
1.熟练运用法则求解极限问题； 2.两个重要极限的应用。
【教学内容】
1.3.1极限的四则运算
一、极限运算法则
定理1 设limf(x)?A,limg(x)?B,则(1)lim[f(x)?g(x)]?A?B;证
：
(2)lim[f(x)?g(x)]?A?B; (3)limf(x)g(x)?AB,其中B?0.limf(x)?A,limg(x)?B.
?f(x)?A??,g(x)?B??.其中??0,??0.
[f(x)?g(x)]?(A?B)?????0.?0. ?(1)成立.
由无穷小运算法则,得
[f(x)?g(x)]?(A?B)?(A??)(B??)?AB ?(A??B?)????0. ?(2)成立.
推论1
如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)]?climf(x).
即：常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]n?[limf(x)]n.
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?
定理2 （复合函数的极限）
设 y?f(?(x)) 是由 y?f(u) 及 u??(x) 复合而成 ,若 lim?(x)?u0 , 且在 去心邻域 x?x0U?(x0,?) 内 ?(x)?u0 , 又有ulim?uf(u)?a , 则 limf(?(x))?limf(u)?a . 0x?x0u?u0
二、求极限方法举例
常见方法：
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
（一）多项式与分式函数代入法求极限
1.设f(x)?a0xn?a?11xn???an,则有
xlim?xf(x)?a0(limx?xx)n?a1(limx)n?1???an
00x?x0?ann?10x0?a1x0???an?f(x0).
2.设f(x)?P(x)Q(x),且Q(x0)?0,则有 f(x)?xlim?xP(x)0P(x0)xlim?xlimQ(x)?0x?xQ(x?f(x0). 0)0若Q(x0)?0,则商的法则不能应用. 例1 求limx?2(x2?3x?5).
解：limx?2(x2?3x?5)?limx?2x2?limx?23x?limx?25
?(limx?2x)2?3limx?2x?limx?25?22?3?2?5?3.
例2 求lim3x3?2x2?x?1x?2x2?5x?3. 解：lim3x3?2x2?x?13?23?2?22?x?2x2?5x?3?2?122?5?2?3??613 例3 求limn??(13?115?135???14n2?1)
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解：? 14n2?1?1(2n?1)(2n?1)?1?2?1?2n?1?1?2n?1?? ? 13?115?135???111114n2?1?1?3?3?5?5?7??(2n?1)(2n?1) ?1??2????1?1?3?????1?3?1?5?????1?5?1?7???????1?2n?1?1??2n?1?????1?2??1?1?2n?1?? limn??(13?115?135???11?1?14n2?1)?limn??2??1?2n?1???2 . 例4 求lim1n??(n2?2n2???nn2). 解：当n??时,是无限多个无穷小之和． 先变形再求极限.
lim12n1?2n??(???nn2?n2???n2)?limn??n2 12n(n?1)?limn??n2?lim1n??2(1?1n)?12. (二)(00型)消去零因子法求极限
消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法
（1）因式分解
例1 求limx2?1x?1x2?2x?3. (00型) 解：x?1时,分子,分母的极限都是零.
先约去不为零的无穷小因子(x?1)后再求极限.
limx2?1(x?1)(x?1)x?11x?1x2?2x?3?limx?1(x?3)(x?1)?limx?1x?3?2. lim(x?h)3?x3练习：求h?0h
解：原=lim(x?h?x)[(x?h)2?(x?h)x?x2]?lim[(x?h)2?(x?h)x?x2h?0hh?0]?3x2 式
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（2）有理化法，将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。
例2 求 limx?25?2x?3 .
2x?2 . 解：由于 lim(2x?2)?0 , 故不能直接用公式计算x?2limx?25?2x?3(5?2x?3)(5?2x?3)(2x?2)?limx?2(5?2x?3)(2x?2)(2x?2)2x?2
?lim(2x?4)(2x?2)
x?2(5?2x?3)(2x?4)lim(2x?2)2x?22?lim?x?2? . x?25?2x?3lim(5?2x?3)3x?2练习：求limx?0?0? ??
1?x?1?x?0?x解=limx?0：原式
x(1?x?1?x)(1?x?1?x)x(1?x?1?x)=1 ?lim?limx?0x?02x2(1?x)?(1?x)（3）变量替换法
例5. limx?1x?13?0? ?? x?1?0?解：令x?t6,则t?6x且x?1时，t?1
t3?1(t?1)(t2?t?1)(t2?t?1)3? 原式=lim2?lim?limt?1t?1t?1t?12(t?1)(t?1)(t?1)(三) (?型)无穷小因子分出法 ? 当a0?0,b0?0,m和n为非负整数时有?a0?b,当n?m,0a0xm?a1xm?1???am??lim??0,当n?m,x??bxn?bxn?1???b01n??,当n?m,???
无穷小因子分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,
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