(2x)2?8. 原式?limx?012x2若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．
(x?1)sinx. 例2 求limx?0arcsinx(x?1)x?lim(x?1)?1. 解当x?0时,sinx~x,arcsinx~x.原式?limx?0x?0x注意 不能滥用等价无穷小代换。切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.
tanx?sinx. 例3 求limx?0sin32x错解当x?0时,tanx~x,sinx~x.原式?limx?x?0. （?）
x?0(2x)313x, 2解：当x?0时,sin2x~2x,tanx?sinx?tanx(1?cosx)~13x12原式?lim?.
x?0(2x)316
1.4 函数的连续性
【教学内容】连续与间断的概念；函数连续性的判断；闭区间上连续函数的性质。 【教学目的】使学生理解与掌握连续与连续函数的概念，会求间断点与连续区间，了解闭
区间连续函数的性质。
【教学重点】1．连续的概念；2．求函数的间断点或连续区间。 【教学难点】连续的概念。 【教学时数】2学时 【教学进程】
一、函数的连续性
1．函数的改变量
提出问题：通过具体图像观察，提出当自变量由一个值变化到另一个值时，自变量改变了多少？同时，函数值变化了吗？函数值的改变用什么来表示？
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y?f(x)y ?x?y o x0 x 定义1．13 设函数y?f(x)在x0的某邻域内有定义，当自变量x由x0变到x，称差
x-x0为自变量x在x0处的改变量或增量，通常用?x表示，即?x=x-x0．相应地，
函数值由f(x0)变到f(x)，称差f(x)?f(x0)为函数f(x)在x0处的改变量或增量，记作
?y，即
?y=f(x)?f(x0)
例1 设f(x)?2x?3，在下列变化情况下求?x和?y． (1)x由2变到2．01 （答案：0.02） (2)x由2变到1．98 （答案：－0.04） 说明：?x和?y可以是正值，也可以是负值，也可以为零。 2．连续的概念 1）定义
提问：什么样的函数是连续的？（让学生观察下列图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。）
观察图1-26和图1-27中两条曲线在x?x0处的情况．
y?f(x) y?f(x)
y ?y y ?x M ?y N ?x o x0x 0??x x 图1-26
O x x0??x 0图1-27
x
归纳结论：由图1-26中可以看出，函数y?f(x)在x0处是连续的，且显然
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当?x?0时，有?y?0．
由图1-27中可以看出，函数y?f(x)在x0处是断开的，且显然当?x?0时，有?y?|MN|（不趋近于零）．
定义1．14 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果在x0处，当自变量的增量?x无限趋近于0时，函数的增量?y也无限趋近于0，即
?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0
?x?0则称函数f(x)在点x0处连续，称点x0为函数f(x)的连续点；否则就称函数f(x)在点x0处间断，点x0为函数f(x)的间断点．
例2 用定义证明y?4x2?3在x?2处连续．
再提问：函数在某点处连续，那么这点处的极限如何？与这点的函数值有何关系？（让学生观察图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。）
定义1.14? 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果
x?x0limf(x)?f(x0)
那么函数f(x)在点x0处连续．称点x0为函数f(x)的连续点．否则称函数f(x)在点x0处间断，x0称为函数f(x)的间断点。
提问：如何来判断函数在某点连续呢？（让学生先归纳出判断某点连续的方法，然后由老师进行总结。）
2）判断连续的方法
一般地，函数f(x)在点x?x0处连续必须满足下面三个条件： （1） 函数f(x)在点x?x0处有定义； （2） limf(x)存在；
x?x0（3） limf(x)?f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值。
x?x0如果lim?f(x)?f(x0)，则称函数f(x) 在点x0处右连续；如果lim?f(x)?f(x0)，
x?x0x?x0则称函数f(x)在点x0处左连续。图1－15(b)中的函数曲线是左连续的。
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例3 讨论函数f(x)?2x?1在点x?1处的连续性。 （答案：连续）
?sinx，x?0??x例4 试说明函数f(x)??在x?0处是连续的．（答案：连续）
?1，x?0???x2?4，x?0??x?0在x?0处连续，求a与b例5 已知函数f(x)??a，?2x?b，x?0??的值． （答案：a?b?2）
3）课堂练习：
(?x)，x?0?ln1??1．讨论函数f(x)??0， x?0在x?0处的连续性． （答案：连续）
?xe?1，x?0???x2?5x?6，x?3??x?32．试说明函数f(x)??在x?3处间断。
?4，x?3??提问：两个函数在某点连续，进行四则运算后是否在此点仍连续？（让学生先思考，然后由老师进行总结。）
4）连续的运算
? 如果函数f(x)和g(x)在点x0处连续，则它们的和、差、积、商（g(x0)?0）在
点x0处均连续。
? 如果函数u??(x)在x0点连续，且lim?(x)?u0，函数y?f(u)在u0连续，则
x?x0它们的复合函数y?f??(x)?在x0点必连续，且
limf??(x)??f?lim?(x)??? x?x0?x?x0?例6 求limln(1?x) （答案：1）
x?0x5）极限与连续的关系
定理1·6 如果函数y?f(x)在点x0处连续，则f(x)点x0处的极限一定存在；反之，
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x2?1不一定成立。例如，函数y?在x?1处的极限存在，但在x?1处不连续。 x?13．连续函数的概念 1）连续函数的定义
定义1．15 如果函数y?f(x)在区间内(a,b)每一点都连续，则称函数
y?f(x)在区间(a,b)内连续；如果函数y?f(x)在开区间(a,b)内连续，又在左
端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称函数在闭区间[a,b]上连续． 2）重要结论
连续函数的和、差、积、商及复合的函数都是连续函数。由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算及复合构成的，基本初等函数在其定义域内都是连续的，所以初等函数在其定义域内均连续。 二、间断点与连续区间的求法
1）方法（可由老师提问，让学生先思考，）
一般地，如果函数f(x)是初等函数，则求它的连续区间只需考虑它有定义；如果函数
f(x)是分段函数，则它的连续性着重应考虑它的分段点。
2）举例
例7 判断下列函数在指定点处的连续性。 （1）y?1在x?1处 （答案：不连续） 2x?1?x?1?（2）y??0?x?1?例8 说明函数y?x?0x?0在x?0处 （答案：不连续） x?0ln(1?x)x在什么区间连续。 （答案：(0,??)）
例9 求下列函数的间断点。 （1）y?x?21x?? （答案：，x?2）
33x2?5x?2?cosx?（2）y??0?ex?1?x?0x?0 （答案：x?0） x?03）课堂练习：
求下列函数的间断点与连续区间
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