然后再求极限.
2x3?3x2?5. 例1 求lim3x??7x?4x2?1解：x??时,分子,分母的极限都是无穷大.
先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.3?2x?3x?5xlim3?limx??7x?4x2?1x??47??x322?5x3?2. 17x3练习：求下列极限
3x3?2x?43? 1、limx??22x3?12x4?x?42、lim=0 5x??2x?13、limx??3x4?x?12x?13??
（四）利用无穷小运算性质求极限
1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小
sinx例1 求lim.
x??x1解：当x??时,为无穷小,
x而sinx是有界函数.
sinx?0.
x??x2、利用无穷小与无穷大的关系（倒数关系）
4x?1. 例2 求lim2x?1x?2x?3?limsinxy?x解?lim(x2?2x?3)?0,商的法则不能用
x?1x2?2x?30又?lim(4x?1)?3?0,?lim??0.
x?1x?134x?1由无穷小与无穷大的关系,得 limx?14x?1??. 2x?2x?331
（五）(???型)
两个无穷大量相减的问题，我们首先进行通分运算，设法去掉不定因素，然后运用四则运算法则求其极限。
0?也就是说，要将(???型)转化为型或型。具体有通分法、分子有理化。
0?13?3) 例1 求lim(x?1x?1x?1x2?x?1?3(x?1)(x?2)(x?2)?lim?lim?1 解：原式=lim223x?1x?1x?1(x?1)(x?x?1)(x?x?1)x?1例2 lim(x(x?3)?x)
x???x(x?3)?解：原式=limx???x2x(x?3)?x?limx??3xx(x?3)?x?limx??33(1?)?1x?3 2练习：求 lim解： limx???x?1 (x?2?x) .
x???x?1 (x?2?x) ?limx???x?1 (x?2?x)(x?2?x)
x?2?x?1 .
?limx???2x?1 ?limx?2?xx???2 1?11?1?x?1x?1（六）利用左右极限与极限的关系
?ex?1, x?0例1设f(x)?? ,问 b 取何值时, limf(x)存在, 并求其值。.
x?0?x?b, x?0xf(x)?lim(e?1)?2 解 ? lim??x?0x?0x?0?limf(x)?lim?(x?b)?b
x?0? 由函数的极限与其左、右极限的关系, 得b = 2 ,
limf(x)?2 .
x?0?1?x,x?0练习：设f(x)??2,求limf(x).
x?0x?1,x?0?,两个单侧极限为解：x?0是函数的分段点
x?0?limf(x)?lim(1?x)?1, ?x?0 32
xlim?0?f(x)?xlim?0?(x2?1)?1, 左右极限存在且相等，故limx?0f(x)?1.
（七）复合函数求极限方法
例1求 limesinxx?0.
解：因为 x?0 时, u?sinx?0 所以，由复合函数求极限法则
limeu?1 , lim?0esinxu?0x?1 .
注：这类复合函数的极限通常可写成limesinxx?0?exlim?0sinx?e0?1 . 例2求 limx??xcosx.
解：limxcosx?limecosxlnx?exlim??cosxlnx?ln?x??x???e?1? .
1.3.2两个重要的极限
一、limsinxx?0x?1 对limsinxx?0x?1使用时须注意: (1)类型是00型；
(2)推广形式limsin?(x)x?x?1其中lim?(x)?0
(或x??0x?)?(x)x(或x??0)(3)x单位是弧度。 例1 求limsin4xx?0x
解：原式=limsin4xx?04x.4=4 例2 求1、limsin3xx?0sin2x2、limtanxx?0x
sin3x解：1、limsin3x?3x3?limsin3xx?03xx?0sin2x?lim3xx?0sin2x??3?1?3 2x?2x2?limsin2x2?12x?02x33
sinx2、limtanxx?0x?limcosxx?0x?limsinxx?0xcosx?limsinxx?0x?lim1x?0cosx?1?1?1 例3 求极限lim3x??xsinx
33解：lim3sinxsinx??xsinx ?limx??(x?3?3x) ?3limxx??3 ?3?1?3 xx练习：求limtanx. ?sinxx?0x3 sinx?sinx解：原式=limcosxx?0x3?lim1?cosxsinxx?0x2cosx.x 22sin2x??sinx??lim2sinx?x?0x2.1cosx.x?lim?2???sinx?111x?0??? ?x??x?cosx22?2??1二、 lim(1?1)x?e lim(1?x)xx?0?e (1?)x??x
1对limxx?0(1?x)?limx??(1?1x)x?e使用须注意: (1)类型是1?型； (2)推广形式
1xlim?x[1??(x)]?(x)?e,0xlim?x?(x)?0 0xlim?x[1?1?(x)]?(x)?e,lim?(x)??
0x?x0例4 求lim1x??(1?x)x.
解：原式?lim[(1?1)?x]?1x???lim1x???1?x. (1?1?xe?x)1例5
(1)limxx??(1?3x)x (2)limx?0(1?3x)
34
解：
33(1)lim(1?)x?lim[(1?)3]3 ?e3 x??x??xxx(2)lim(1?3x)?lim[1?(?3x)]x?0x?01x1?(?3)?3x ?lim{[1?(?3x)]}?3 ?e?3
x??1?3x例6求lim(1?解：
14x?3)
x??2x11111lim(1?)4x?3 ?lim(1?)4x(1?)3 ?lim[(1?)2x]2lim(1?)3 x??2xx??2x2xx??2xx??2x?e2?1 ?e2
例7求lim(x?2x??x?1)2x
解：limx?22x12(x?1x??(x?1) ?limx??(1?x?1))?2 ?lim1x??(1?x?1)2(x?1)?(1?1x?1)?2 ?limx??[(1?1x?1)x?1]2?limx??(1?1x?1)?2 ?e2 练习 求lim3?xx??(2?x)2x. 解1原式?lim1x??(1?x?2)2(x?2)?4?limx??[(1?1x?2)x?2]2(1?1x?2)?4?e2. 解2原式?lim1x??(1?x?2)2x令1x?2?t,则x?1t?2,且x??,t?0 22原式?limt?4?lim?1t?0(1?t)t?0?(1?t)t??lim(1?t)?4=e2
??t?0【补充】等价无穷小代换
定理(等价无穷小代换定理) 设?~??,?~??且lim???????存在,则lim??lim??.
常用等价无穷小: 当x?0时,
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~ex?1,1?cosx~1
2x2tan2例1 求lim2xx?01?cosx. 解：当x?0时,1?cosx~12x2,tan2x~2x. 35