km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、
B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
Y B A P
图（1）
【关键词】勾股定理、对称、设计方案 【答案】
X P 图（2） B A A? B Q A X O P 图（3）
X
解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,
∴AC＝30
在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40 ∴ BP＝CP2?BC2?402
S1＝402?10
⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50， 又BC＝40 ∴BA'＝
40?5022?1041
由轴对称知：PA＝PA' ∴S2＝BA'＝1041 ∴S1﹥S2
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA' ∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B ∴S2＝BA'为最小
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'， 连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G, A'B'＝1002?502?505
∴所求四边形的周长为50?505
YBB'QPAX
A'以下是湖北孔小朋的分类：
5．（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上，且OB＝4．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；
（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）．
图14
【关键词】平面直角坐标系；旋转 【答案】本小题满分8分
解：（1）画图正确（如图）；
（2）所扫过部分图形是扇形，它的面积是：
90360π?4?4π．
2
6．（2009年河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．
【关键词】等腰三角形的性质与判定 【答案】OE⊥AB． 证明：在△BAC和△ABD中，
AC＝BD， ∠BAC＝∠ABD， AB＝BA．
∴△BAC≌△ABD．
∴∠OBA＝∠OAB,
∴OA＝OB． 又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．
7．（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE＝AD；
（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
（4）
【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形 【答案】证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC， ∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余， ∴∠1＝∠2
∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝AC ∴△BAD≌△CBE ∴AD＝BE
（2）∵E是AB中点， ∴EB＝EA
由（1）AD＝BE得：AE＝AD ∵AD∥BC
∴∠7＝∠ACB＝45°
∵∠6＝45° ∴∠6＝∠7
由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。 即，AC是线段ED的垂直平分线。
（3）△DBC是等腰三角（CD＝BD） 理由如下：
由（2）得：CD＝CE 由（1）得：CE＝BD ∴CD＝BD
∴△DBC是等腰三角形。
8．（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．
b
c
b
c
a c
b
a
c
c
b
c
a
a
【关键词】勾股定理的验证 【答案】方法一解：（1）如图
a
c c
c
a
b
a
c
b
b
a
b
c b
a （2）证明：?大正方形的面积表示为(a?b)2,大正方形的面积也可表示为
c?4?212ab,?(a?b)?c?4?2212ab，a?b?2ab?c?2ab，?a?b?c．即
222222直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 方法二解：（1）如图
（2）证明：?大正方形的面积表示为：c12ab?4?(b?a),
22222，又可以表示为：
22?c?212ab?4?(b?a)2，c?2ab?b?2ab?a2，
?c?a?b．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
【关键词】勾股定理的应用
【答案】在Rt△ABC中，?ACB?90°，AC?8，BC?6由勾股定理有：AB?10，扩
充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当AB?AD?10时，可求CD?CB?6,得△ABD的周长为32m．②如图2，当AB?BD?10时，可求
AD?45,得△ABD的周长为20?45m．CD?4,由勾股定理得：③如图3，当AB为
??底时，设AD?BD?x，则CD?x?6，由勾股定理得：x?A A
253,得△ABD的周长为
A 803 m．D
B C 图1
D
C 图2
B D
C 图3
B
10．（2009白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2?DB2?DE2．
【关键词】全等三角形的判定、勾股定理
【答案】27．证明:（1） ∵ ?ACB??ECD，
∴ ?ACD??BCD??ACD??ACE．
即 ?BCD??ACE
∵ BC?AC,DC?EC，
∴ △ACE≌△BCD
（2）∵ ?ACB是等腰直角三角形， ∴ ?B??BAC?45?．
∵ △ACE≌△BCD， ∴ ?B??CAE?45?． ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?． ∴ AD2?AE2?DE2． 由（1）知AE＝DB