ACE≌△BCD， ∴ ?B??CAE?45?． ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?． ∴ AD2?AE2?DE2． 由（1）知AE＝DB，
∴ AD2+DB2=DE2．
18．（2009年莆田）已知：等边△ABC的边长为a． 探究（1）：如图１，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成
△MNG，求证：△MNG是等边三角形且．MN?3a；
探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD?AB、OE?BC、OF?CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD?OE?OF?2．AD?BE?CF?32a；
32a；结论
2是否仍然成立？如果成立，②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1、请给予证明；如果不成立，请说明理由．
M A
D G
B
C （图1）
B A O E （图2）
F C B D A F O E （图3）
C B D A F O E （图4）
C N
【关键词】等边三角形
证明：如图1，?△ABC为等边三角形 ??ABC?60°
?BC?MN，BA?MG
∴?CBM??BAM?90°
??ABM?90°-?ABC?30?
M A
G
B
C （图1）
??M?90?-?ABM?60?N
同理：?N??G?60?
?△MNG为等边三角形．
在Rt△ABM中，BM?ABsinMBC?asin60?a?23333a
在Rt△BCN中，BN?tanN?tan60??a
?MN?BM?BN?3a
（2）②：结论1成立．
A D
O F C 证明；方法一：如图2，连接AO、BO、CO
12a?OD?OE?OF?
B E H （图2）
由S△ABC?S△AOB?S△BOC?S△AOC＝作AH?BC，垂足为H，
则AH?ACsin?ACB?a?sin60??32a
?S△ABC?12BC·AH?12a·32a
?12a?OD?OE?OF??12a·32a
?OD?OE?OF?32a
方法二：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点 H作HM⊥BC于点M，
??DGO??B?60°，?OHF??C?60° ?△AGH是等边三角形 ?GH?AH ?OE⊥BC ?OE∥HM
?四边形OEMH是矩形 ?HM?OE
·sin?DGO?OG·sin60??在Rt△ODG中，OD?OG32OG
A
D G B
F H M C
32OH
O E
在Rt△OFH中，OF?OH·sin?OHF?OH·sin60??在Rt△HMC中，HM?HC·sinC?HC·sin60??32HC
?OD?OE?OF?OD?HM?OF?3232OG?32HC?3232OH
?M ?GH?HC??AC?32 aA D F?
F O E
E?
D? B C G
N
（2）②:结论2成立．
证明：方法一：如图４，过顶点A、B、C依次作边AB、BC、CA的垂线围成△MNG，由（1）得△MNG为等边三角形且MN?3a
过点O分别作OD??MN于D?,OE??NG于NG于点E?，OF??MG于点F? 由结论1得：
OD??OE??OF????MN?32?3a?32a
又?OD?AB，AB?MG，OF??MG
??ADO??DAF???OF?A?90?
?四边形ADOF?为矩形 ?OF??AD
同理：OD??BE，OE??CF
?AD?BE?CF?OD??OE??OF??32a
方法二：（同结论1方法二的辅助线）
A
D G B F H O
E M C （图3） 在Rt△OFH中，FH?OFtan?OHF?33OF
在Rt△HMC中，HC?HMsinC?23333OE
?CF?HC?FH?233OE?OF
同理：AD?233OF?33OD，BE?233OD?33OE
?AD?BE?CF
＝
233OF?33OD?233OD?33OE?233OE?33OF
＝3?OD?OE?OF?
32由结论1得：OD?OE?OF?a
A D
O B E
（图5）
C
?AD?BE?CF?3?32a?32a
F
方法三：如图5，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得： BE?OE?OB?BD?OD① CF?OF?OC?CE?OE② AD?OD?AO?AF?OF③
222222222222222①+②+③得：
222222BE?CF?AD?BD?CE?AF
?BE?CF?AD??a?AD???a?BE???a?CF?
222222222222?a?2AD?a?AD?a?2BE?a?BE?a?2CF?a?CF
整理得：2a?AD?BE?CF??3a
2?AD?BE?CF?32a 12分
20．(2009年南充)如图8，半圆的直径AB?10，点C在半圆上，BC?6． （1）求弦AC的长；
（2）若