劳动力市场。与家庭成员坚信两期都能实现合作的情况相比，考虑离婚可能性之后的动态分工决策将使女性参加市场劳动的保留工资降低，使家庭的整体福利水平有所下降，家庭分工将陷于某种低效率状态。这个模型对已有模型的另一个值得一提的改进是，即使在这个社会的大多数家庭中由于神圣的爱情使得家庭分工能够在两期合作的状态下实现最佳效率，但是只要仍然存在着越来越多的家庭(也许总量上只是一小部分)转向采取动态战略的分工决策，我们就能够解释离婚对于女性劳动供给的影响。相比之下，已有的动态战略家庭分工模型(Ott, 1996；Beblo, 2001)都将代表性的家庭描述为采取“非合作策略”的家庭，这难免让很多人觉得是经济学对于家庭决策在理解上的重大偏误。需要指出的是，考虑离婚的策略性家庭分工模型并不对传统家庭分工理论构成替代，在本文的模型中，考虑离婚可能性的家庭决策仅对家庭分工状态在边际上有影响，但家庭分工仍然是顺应比较优势进行组织的。
三、模型：一个家庭分工的动态理论及分析
在这一节中，我们将通过一个两期的动态模型来展现合同的不可执行性以及人力资本积累的非对称性对于家庭分工的影响。作为参照，我们首先构造一个非常简单的单人最优决策模型，在这个最优规划之下，一个人决定其在家庭生产和市场劳动之间的时间分配，然后我们将用一个单期的合作模型来展现分工对于家庭成员效用的增进作用。之后通过引入动态的分析，我们将发现，如果考虑一个两期的模型，那么市场劳动中存在的人力资本积累效应会使女性更多地参加市场劳动。进一步地，当家庭成员观察到市场上有外生的离婚现象，那么，就意味着婚姻契约对于有些家庭是缺乏可执行性的，也就是说，一旦离婚发生，在经济地位上较弱的一方难以有保障地得到其在家庭合作状态下应该得到的收益。因此，家庭内部的分工决策将不再是一个两期的合作契约，而成了两个单期的决策，在第二期中有一定的概率家庭将解体，每个家庭成员将在这样的安排之下最大化自己两期的效用之和。 (一)单期的单人决策：家庭生产与市场劳动之间的时间分配
为了简化模型的计算而不影响其结论，我们假定个人的目标①是最大化其消费所带来的效用(C)②，其最优规划可用(1)式表示为：
Max C?wM?lnH
M,H (1)
s.t. T?M?H
M?0
其中，w表示其市场劳动的单位工资，M表示其市场劳动时间，H表示家庭劳动时间。我们假设家庭生产函数是一个对数形式的凹函数，③市场劳动创造的收入可以等量地购买消费品，而家庭生产创造的消费品和市场劳动收入购买的消费品是线性可加的。这个最优规划有两个约束条件，一个是时间约束，即两部分劳动时间之和必须等于一个总的时间(T)，同时，市场劳动时间必须是非负的。解这个最优规划，我们构造如下拉格朗日函数：
L?wM?lnH??(T-M-H)??M
(2)
其中，?和?分别是时间约束和市场劳动时间非负约束的拉格朗日乘子，解上述最优规划得到一组一阶条件和相应的互补松弛条件：
?L?M?L?M?w?????0，M?0，M?= 0 (2a)
鉴于前面所指出的共同偏好模型的不适用性，我们在本文中均假设家庭成员最大化自己的效用，而家庭内部的分工合作只是家庭成员为了实现自己效用最大化所必须做的。 ②
为简便起见，这里我们直接用个人的获得的消费量来度量其效用水平。 ③
在这个看似特殊的家庭函数之下，如果家庭劳动时间为零，家庭的效用将为负无穷，这与现实是相符的。家庭生产中的一些活动是不能在市场上购买的，因此，家庭不会选择家庭劳动时间为零。此外，我们在效用函数中忽略了对于闲暇的考虑，因为我们所关心的是家庭在市场劳动和家庭劳动之间的时间分配，考虑闲暇对于这一问题并无实质性的帮助。 6
①
?L?H?1H???0 (2b)
?L???L???T?M?H?0
?L?? (2c)
= M?0，??0，??= 0 (2d)
上述解有两种情况：
(1) ??0，此时，M?0, H?T，w?(2) ?＝0，此时，H?1w1T??； 1H?1T, M?T?1w，w?。
1T由此可见，在单人最优决策中，参加市场劳动的保留工资是w?参加市场劳动。而当w?1T，如果工资更低，那么这个人不会
时，此人将从事市场劳动且C?wT?1?lnw。
(二)单期家庭合作决策
我们接下来考察一个家庭内部的合作决策，其中两个家庭成员参加市场劳动所获得的工资存在着一定的差距。由于世界各国的情况都是女性平均工资相对较低，而且女性在寻找配偶时也往往采取“上婚”策略，即倾向于嫁给比自己收入高的男性(林爱冰等，2001)，所以我们在本文中假设wm?wf。
①
我们分别用上标m和f表示男性和女性的有关变量。
我们先来看男性的决策，他的目标是通过选择市场劳动时间来最大化其消费，即：
Max C mMm (3)
s.t. Mm?0
mT?M?0
实际上，在男性的决策中他所能够获得的消费量还取决于女性的行为，以及在家庭合作决策中的效用分配。在家庭合作决策之中，当两位家庭成员都已经决定了他们的时间分配后，家庭的消费总和可以写作：
Cm?C=wMfmm+wMff+ln(2T?Mm?Mf) (4)
然后我们再来看家庭成员如何进行分配。Manser and Brown (1980)和McElroy and Horney (1981)最早用纳什议价方法来研究家庭内部决策，我们也使用这种简单易行的方法来研究家庭效用分配。②令Di为i(i=m,f)在单个人时的最大可能消费量(即3.1中解得的C)作为纳什议价家庭合作决策中夫妻双方的威胁点。注意Di与Mi无关。
由纳什合作议价③原则可以得到： 对于单纯的理论模型来说，假设wm > wf并不是必需的，但是相反的假设并不改变本文想要揭示的家庭分工中的低效率问题。 ②
之所以在家庭决策问题中纳什议价方法得到广泛的运用，是因为这种简单的方法可以避免非合作博弈方法中对于博弈规则、行动和信息结构的复杂描述，而且在静态的环境中，合作博弈下的效率解可能会出现，而婚姻正是提供了这样一个环境(Lundberg and Pollak, 2001)。Shubik (1989)对于非合作博弈在对“复杂而结构松散的社会相互作用”的分析中是否有用也持怀疑态度。本文的模型在效用分配上采取了纳什合作议价方式，而后文中的两期模型则具有非合作博弈的性质，这完全是为了揭示家庭分工中的低效率，好在这个博弈的结构非常简单。 ③
纳什合作议价的规划是Max (Cm?Dm)(Cf?Df)，这实际上是一个分配原则，其中博弈双方具有相同的议价能力，
①
Cm,Cf根据这个原则，家庭合作分工产生的剩余(即家庭总消费扣除两者的威胁点)将在两人之间平分，即得(5)式。注意，这个 7
Cmfmf?C=D?D (5)
根据(4)和(5)式，可得：
mC=
12[wmMm+wfMf+ln(2T?Mm?Mf)+Dmf?D] (6)
将(6)式代入(3)式的最优规划，并构造拉格朗日函数：
L?Cm??mMm??m(T?Mm) (7)
其中，?m和?m分别表示男性的市场劳动时间非负条件和家庭劳动时间非负条件的拉格朗日乘子。解此规划所得的一阶条件经过整理得：
wm?12T?Mm?Mf?2?m?2?m (8)①
同理，我们如果用类似(7)式的最优规划求解女性的市场劳动时间，可得：
wf?12T?Mm?Mf?2?f?2?f (9)
其中，?f和?f分别表示女性的市场劳动时间非负条件和家庭劳动时间非负条件的拉格朗日乘子。(8)和(9)两式实际上是夫妻双方假设对方市场劳动时间给定时自己的反应函数。理论上四个乘子的取值共有16种组合，但有些情况显然可以排除掉。因为wm?wf，所以可以排除?m,?m,?f=0
或?m>0, ?f=0, ?m=0的情况。又由两个互补松弛条件可知，?i与?i(i?m,f)不会同时大于0。并且，由于一定有Hf?Hm?0，那么也不会出现?i?0, ?i?0(i?m,f)的情况，所以仅剩下四种可能：
(1) ?12Tm
,?f
=0; ?m,?f>0。由此可以解得：Mm?Mf?0，Hm?Hf?T，
=wm+2?m=wf+2?f。这时家庭成员之间没有分工，两个人都不参加市场劳动。 (2) ?m=?f=?m=0; ?f>0。可以解得：M1mf?0，HfH?T，
m?1wm?T, Mm?2T?1wm,
T?H?w=w+2?mff。也就是说，当
12T 1T时，女性仍完全从事家庭生产，男性开始分 工，部分从事市场活动。由于家庭的形成，可用的家庭劳动时间总量增加，家庭劳动的边际产出随之降低，这使得工资较高一方(男性)参加市场劳动的保留工资降低为w?(3) ?f 12T。 m=?m=0; ?m ,?f>0。可以解得：Mm?Hf?T，H?Mf?0， 合作博弈本身并不直接决定两者的市场劳动时间，市场劳动时间是两人在平分合作的剩余的情况下再最大化自己的消费 来决定的。这里，我们提供了一种新的求解家庭合作分工的方法，这个方法简便易行，且能为后面的分析提供方便。当然，在这个单期的合作模型下可以证明，这个解法与直接将两人的市场劳动时间作为合作博弈的控制变量的解法将得到完全相同的结果，但由于我们在后文中将要放弃家庭联合效用最大化的假定，因此，在这里我们也没有将家庭合作博弈作为模型的出发点。 ① 两个互补松弛条件分别为?m(T?Mm)?0和?Mmm?0。 8 1T=wm–2?m=wf+2?f。当wf< 1T，wm> 1T时，女性完全从事家庭生产，男性完全从事市场活 动。 (4) ?m>0，?f=?m=?f=0。可以解得：Hm?0，M1Hfm?T，Hf?1wf, Mf?T?1wf, ?w=w–?fmm 。当 1T 由上述分析可见，在家庭合作决策中夫妻双方参加市场劳动的保留工资是不同的，男性保留工资wm?12T，女性保留工资wf?1T。为了能够进一步地揭示家庭分工状态下双方的所得，我 们选择了上述情况(4)进行了一些细致的分析。在状态(4)之下，我们有： D?wT?1?lnw，i=m, f CCmiii m (10) (11a) (11b) ?wT??wT?fm1212?12lnw fm f?lnw?12lnw 可见，家庭成员在组成家庭后的效用比单个人状态下的效用有所提高。此外我们还可以得到：?C?wff=T?1wf>0, ?C?wmf=0, ?C?wmm=T?12wm>0, ?C?wfm= 12wm>0。由此可见，家庭内分工的好处来 自于男性从家庭生产活动中的解放，当然这是以女性承担了家庭劳动为前提的，这一家庭分工的好处被双方平均分配。我们还可以计算出女性的实际产出为(wfT?1?lnwf)，也就是说，女性的产出与组成家庭前的产出(威胁点)相同，因此，女性工资的提高只会提高她自己的威胁点而不会增加男性的消费。于是，我们可以得到与Becker(1981)一样的一个命题： 命题1：由于存在合作的家庭组织，市场工资较高的家庭成员参加市场劳动的保留工资降低了，从而能够更多地参与市场劳动。家庭内部分工的出现提高了家庭成员各自的效用，从而提高了家庭的总福利。 (三)家庭两期合作劳动分工决策 接下来我们考虑两期的家庭分工决策，作为考虑有离婚可能时的两期分工决策模型的参照。这里我们暂且假定家庭成员具有这样的信念：在未来的一期，家庭成员仍然进行合作，并将合作的剩余在成员之间进行均分。这种信念是建立在对家庭和婚姻关系的信心之上的。①为了简化分析，我们在两期模型中假设wm1?wf1?1T，也就是说，我们两期动态模型的参照系是家庭单期合作决策模型中的第(4) 种情况，即女性部分地参加了市场劳动，而男性完全参加市场劳动的情况。这种情况在现实中比较常见，而且针对这种情况的分析可以较好地展现离婚的可能性对女性劳动供给的影响。②此外，我们还假定家庭分工将对人力资本积累产生作用，从事市场劳动的人在第二期将获得更高的工资，在第一期的工作时间越多，人力资本积累越快，第二期的工资就越高。一个简化而可行的假设是，工资增长的速率是第一期市场劳动时间在总的可支配时间中的比率，即w 当然，如果社会中存在某种制度来保证家庭成员在未来进行合作(即使不是以家庭的形式)并平均地分配剩余，那么，相应的信心也能够建立起来。 ② 考虑到在现实中，劳动时间往往是需要高于一定的界线之后，就业才进入统计，因此，在这种情况下讨论离婚可能性 9 ① i2?w(1?i1MTi1)，i=m,f。 男性的最优规划是通过选择第一期的市场劳动时间最大化其两期的效用(消费)之和，即： mm1m2 =+ MaxCCCm1 (12) Ms.t. T?Mm1?0 由于我们是在上述第(4)种情况下讨论问题，因此男性的最优规划中不再有市场劳动时间非负约束。对 称地，女性也有一个类似的规划。当两个人在第一期的劳动时间分配已经决定之后，接下来的问题就是两人通过纳什议价来分配家庭的总效用。我们的求解方法实际上是与前面相类似的逆向求解法，先看每个人在家庭效用分配中分得多少，再将其代入两个人各自的效用最大化规划，解得各自的反应函数，然后再最终解出具有纳什均衡性质的家庭劳动时间分配解。 为了求出两个人各自分得多少效用，首先我们来看家庭的总效用(消费)有多少。在第二期，家庭分配结果实际上就是一个单期的家庭合作解，所以根据单期家庭合作决策解可以直接写出： Cm2=wm2T?1212?12lnwm2=w12m1(T?Mm2m1)?12?12ln[wm1(1?MTm1)] (13a) Cf2=wf2T??lnwf2?lnw MTf1 =wf1(T?Mf1)?12?ln[wf1(1?)]?12ln[wm1(1?MTm1)] m1 f1(13b) 令Ci=Ci1+Ci2, i=m,f, 由于有Cm1+C总效用： C+C=wmfm1f1=wm1Mm1+wf1Mf1+ln(2T?M?M)，则可计算家庭 (T?2Mm1)+wf1(T?2Mf1)–1+ln(2T?Mm1?Mf1)–ln[wf1(1?MTf1)] (14) 而当两人在第一期通过纳什合作议价分配家庭效用时，两个人的所得实际上是由他们各自在第一期的威胁点决定的，根据纳什议价解的性质，我们有： C–C=Dmfm1–Df1=(wm1?wf1)T?lnwm1?lnwf1 (15) 由此可解得： Cm?wm1(M12m1?T)+wf1f1M?f1+ 12ln(2T?Mm1?Mf1)?12ln[wf1(1?MTf1)] ?lnwm1?f112lnwf1m112 12 m1 ?M f1 )?12 ln[wf1 (1? MTf1 )] (16a) Cf?wm1M12+wm1(M12?T)+ f1ln(2T?M ?lnw?lnw?12 m m m1 (16b) 将(16a)代入(12)并构造拉格朗日函数L?C+?弛条件： (T?M)，便可解得最优规划的一阶条件和互补松 对女性劳动供给的影响实际上也可以得出离婚对于按人数统计的劳动参与率的影响。 10