wm1=
122T?Mm1?1m1?Mf1??m
(17a) (17b)
?(T?Mm)?0
类似地，将(16b)代入女性的最优规划也可解得相应的一阶条件和互补松弛条件：
wff1=
122T?Mf1(1m1?Mf1?1T?Mf1)??f
m
与?f
(18a) (18b)
?(T?M)?0
因为wm1>wf1，所以?m≠0，又由于家庭劳动时间必不可少，?就不可能同时大于0，所以可
Twf11能的情况只有：?m
>0,?f
=0。由此可以解得：Mm1=T, Hm1=0，Mf1=(T2?)2,
Hf1=T–(T2?Twf11)2
令?1表示两期家庭合作分工状态下女性第一期市场劳动时间比单期家庭合作分工状态下女性市场劳动时间的增加量，即?1?(T2?Tw1)2?(T?f11wf1)，不难证明，?1>0。以上的分析可以总结为：
命题2：即使存在人力资本积累(工资上升)的效应，只要女性初始工资水平低于男性，其最优决策
仍然是部分地从事家庭生产。但是，相对于单期的家庭分工决策，女性将减少其在第一期的家庭劳动时间，增加市场劳动的时间。
进一步考虑这个市场劳动时间的增加量与女性第一期市场工资的关系，可得：
14f1???0 ?w???11T3T ???1??f121(w)?f1??0 wf1?422(1?1/(wT))??3Td?1dwf1 (19)
由此我们可以得到：
命题3：与单期的家庭分工决策相比，在两期家庭合作分工决策中女性市场劳动时间的增加量与
其第一期的工资水平有关。女性的初始工资水平通过两种作用影响上述市场劳动时间的增加量。首先，初始工资水平增加意味着家庭劳动时间减少、家庭劳动的边际产出增加，这就加大了女性增加市场劳动的机会成本。其次，初始工资水平增加也意味着增加市场劳动时间后通过人力资本积累效应能够获得的收入提高。当女性的初始工资低于临界值时，后一种效应占主导，因而初始工资越高使女性增加的市场劳动时间也越多。当女性的初始工资超过临界值时，前一种效应占主导，因而女性初始工资水平越高，上述市场劳动时间的增加量就越小。 (四)存在离婚可能的动态家庭分工决策
在两期合作的家庭分工决策模型中，我们需要家庭成员间有一个具有约束力的契约，至少，两个人之间要有一种隐性的契约(或者是某种信念，或者出于感情的力量)来保证合作。但是，鉴于二战以后西方国家的离婚率普遍大幅度提高，而转型经济国家中婚姻家庭的稳定性也受到了很大的冲击(陈钊等，2003)，我们只能在经济学意义上将婚姻契约视为可执行性较差的契约，也就是说，社会缺乏有效的机制或制度保证婚姻在第二期能够得以维持。更为一般地，家庭成员无法相信双方能够在第二期继续分工合作并均分分工的剩余，哪怕不以家庭为基础。由于婚姻不再是稳定的，女性第一期的消费量无法再从
11
第二期分工的剩余中得到转移或补偿。这时原先的两期合同变得不可执行，由于第二期出现了离婚的可能，夫妻双方的合作议价和收益分配只能在两期中分别地进行。在这个两期的模型中，我们假设第二期离婚的概率为p(0 < p < 1)，两个人在第二期只能以一定的概率获得合作的收益，同时也有可能获得离婚后单个人的效用。这样，女性的最优规划便可以写作：
ECMaxf1Mf?Cf1f1?pCf2'?(1?p)Cf2 (20)
s.t. T?M?0
类似地，男性也有这样一个最优规划。接下来我们要计算夫妻双方各自的期望效用。根据我们的单期决策模型，可以计算出双方第1期的消费量：
CCm1??1212[w[wm1MMm1?w?wf1MMf1?ln(2T?M?ln(2T?Mm1?M?Mf1)?D)?Dm1?D?Df1] ]
(21a) (21b)
f1m1m1f1f1m1f1m1f1其中，Di1?wi1T?1?lnwi1，i=m,f。
在第二期中，双方的消费决定要看双方是否离婚。如果离婚的话，有：
Ci2'?w(T?Mi1i1)?ln[w(1?i1MTi1)]?1，i=m,f (22a)
如果不离婚的话，有：
Cm2?wm1(T?Mm1)?12ln[wm1(1?MTm1)]?12 (22b)
Cf2?wf1(T?Mf1)?ln[wf1(1?MTf1)]?12ln[wm1(1?MTm1)]?12f (22c)
将(22a)至(22c)代入女性的最优规划，并构造拉格朗日函数L?EC一阶条件和一个互补松弛条件：
wf1f??(T?Mf1)，可以解得一个
?132T?Mf1?1m1?Mf1?23T?M?1f1?23?f
(23a) (23b)
?f(T?M)=0
对称地，我们也可以通过男性的两期最优决策解得：
wm1?132T?Mm1?1m1?Mf1?1?p3?1T?Mm1?23?m
m1
m
(24a) (24b)
f?m(T?M)=0
f 、?m
f1
们可以解得：Mm1=T，Hm1=0，M?16wf1?1???Tf12?36(w)T??f1?w?2。不难发现，只要存在离
12
婚的可能性，家庭分工决策结构随之而改变，当然，此处Mf1仍然是wf1的增函数。相对于两期合作
①
家庭分工决策的结果，这里女性的工作时间将增加，而且其参加市场劳动的保留工资将降低(容易证明，这时的保留工资小于1/T)。于是有：
命题4：由于同时存在人力资本积累的非对称性和契约的不可执行性，考虑到离婚的可能性后，家庭成员之间的分工决策只能一期一期地进行，这时，相对于两期合作的家庭分工决策，市场工资较低的一方将增加其劳动供给。
那么，在女性增加其劳动供给的情况下，家庭的福利受到怎样的影响呢？当家庭成员在一期中的市场劳动时间已经决定以后，那么，家庭在两期中的效用总和就可以表示为(14)式，由于在我们所考虑的情况下，男性的市场劳动时间一定是M间Mf1m1=T，因此我们可以将(14)式写作女性第一期的市场劳动时
的凹函数，将家庭两期的总效用对女性第一期的市场劳动时间求一阶导，可以计算出女性第一
f1期市场劳动时间对家庭总效用的边际贡献为2w?2TTT2?(M1f1)2。由此我们可以知道，当女性的第一
期市场劳动时间的边际贡献为零，即Mf1=(T2?wf1)2时，家庭两期的总效用达到最大值，而家庭两
期合作分工下女性第一期的市场劳动时间恰恰是这个使得家庭两期效用总和最大的量，因此我们不妨将两期家庭合作分工状态下家庭的总效用记为CFB，这个效用总和是最优的。
在存在离婚可能的动态家庭分工决策下，家庭的最高效用总和就是家庭在第二期事实上并没有离婚的情况下的效用水平，我们将这个家庭效用总和记为C’。这时，如果第一期两人的市场劳动时间给定的话，那么家庭两期的效用总和也可以用(14)式来表示，但是由于这时女性的市场劳动供给大于在两期合作分工状态下的劳动供给，因此，女性的劳动供给过多了，女性市场劳动供给对家庭两期效用总和的边际贡献是负的。也就是说，在存在离婚可能的动态家庭分工决策下，即使在事后家庭在第二期并没有离婚，但是在事前，由于女性的市场劳动供给过多，也会造成家庭福利的损失。现实中，由于存在离婚的可能，那么如果事实上第二期家庭仅能够得到一个离婚后的效用水平(记为C”)，那么一定FB
C>C’>C”。这一分析可以总结为：
命题5：当家庭成员考虑到离婚的可能性时，在两期的分工决策中，家庭的福利水平相对于两期合作分工的状态有所降低。即使事实上在第二期家庭并没有离婚，这种福利损失也无法避免。
进一步考察存在外生的离婚概率时女性市场劳动时间将受到怎样的影响。令?2代表存在离婚可能时女性市场劳动时间和两期合作家庭分工决策下女性市场劳动时间之差，即：
1?2?16wf1?1???Tf12?36(w)2T??f1?w?2???T?2T??f1?w?12 (25)
容易证明
d?2dwf1?0。由此我们可以得到：
①
当wf1?1T时，有：
dMdwf1f1??16?w??f1?2?1?1f1w?2?36???2?T?2T?f1w???121?f1???T?wf118w??????2
1??2111??22??????T?T???62?36??T??f1???T???w18??????2?16?w?f1?2?17??1??0 ??37? 13
命题6：在考虑离婚的动态家庭分工决策之下，市场工资较低的女性初始的工资水平越低，对离婚可能性的考虑带来的女性市场劳动时间的扭曲就越严重。
我们可以对命题6背后的机制稍作解释。女性上述策略性的行为需要以背离比较优势为代价。如果女性初始的市场工资水平较低，那么其家庭劳动时间就会较多，由于家庭劳动的边际产出递减，这时家庭劳动的边际产出就较低。因此，此时女性采取上述策略性行为减少家庭劳动所付出的代价就较少，这使得她会相对更多地增加自己的市场劳动时间。
四、对婚姻家庭稳定性的保险机制对家庭分工的影响
以上我们证明了离婚可能性的存在使女性倾向于更多的市场劳动。这是因为，可能出现的家庭破裂使双方需要每一期都进行谈判。这样，女性为了让丈夫从家庭生产中解脱出来而承担家务劳动的行为就不利于提高第二期中的谈判地位，这将给女性带来损失。这时，女性只能通过在第一期更多地参加市场劳动来进行自我保险。
既然如此，那么一个减少这种家庭内部劳动分工中低效率的可能方法就是通过制度的设计为女性提供类似的保险。例如，可以在第一期从家庭的总收入中预留出一定的数量，该数量与女性第一期家庭劳动时间正相关，一旦婚姻破裂，预留的部分就归女性所有，作为对其第一期中从事家务劳动以致于市场劳动的工资增长较慢的补偿。下面我们来看一下在实施这种保险制度之后，家庭分工、女性就业和家庭成员的福利将受到怎样的影响。
假设从第一期的家庭所得中预留的数量为G，G?k(T?M费为：
CCm1f1)，k?0。于是，双方第一期的消
??1212[w[wm1MMm1?w?wf1MMf1?ln(2T?M?ln(2T?Mm1?M?Mf1)?D)?Dm1?D?Df1?G] ?G]
(26a) (26b)
f1m1m1f1f1m1f1m1f1其中，Di1?wi1T?1?lnwi1，i=m,f。
在第二期中，如果双方离婚，则有： Cm2'?wm1(T?Mm1)?ln[wm1(1?MTMTm1)]?1 (27a)
f1Cf2'?wf1(T?Mf1)?ln[wf1(1?)]?1?G (27b)
如果不离婚的话，由于女性谈判地位有所提高(提高了G)，所以在谈判中有：
Cm2?wm1(T?Mm1)?12ln[wm1(1?MTm1)]?12
m1 (27c)
Cf2?wf1(T?Mf1)?ln[wf1(1?MTf1)]?12ln[wm1(1?MT)]?12?G (27d)
从以上式子中可见，保险机制的引入确实提高了女性的消费水平。女性的最优规划仍不变，将(26b)、(27b)和(27d)代入其中并构造拉格朗日函数L?EC条件和一个互补松弛条件：
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f??f(T?Mf1)，同样可以解得一个一阶
wf1?132T?Mf1?1m1?Mf1?23T?M?1f1?13k?23?f
(28a) (28b)
?f(T?M)=0
男性最优决策的解不变：
wm1?132T?Mm1?1m1?Mf1?1?p3?1T?Mm1?23?m
m1(29a) (29b) =T，Hm1?m(T?M)=0
m >0，?12
f由于k?0，在这一组最优条件下有???11????T2??f11?1?f16?w?k??36??w?k?3???3???=0，可以解得：M=0，
Mf12??T??1?f1w?k?3??。由此不难发现，保险制度的引入在提高女性消
费的同时相当于提高了女性第一期家务劳动的回报，根据前文分析可知，这必然会使女性第一期的市场
劳动时间也跟着减少，从而可能提高家庭的总福利。①也就是说，保险制度的引入确实能够起到提高家庭内部劳动分工效率的作用。
接下来，我们希望运用数学方法来揭示这样的保险制度对于男性的影响，但是我们在数学上遇到了难以判断符号的非常复杂的表达式，于是我们求助于数值模拟来解决这一问题。在模拟中，我们取
wm1?14，wf1?16，T?12。离婚率的取值依照中国的历史数据取0.8‰到1.8‰之间。
结合这一节中的数学分析和数值模拟，我们获得了下面这样一系列命题：
命题7：在既定的离婚率之下，如果为家庭提供婚姻稳定性的保险，那么，随着保险力度(k)的上升，家庭福利先是上升，然后加速度下降。存在着一个最优的保险力度使得家庭总福利达到两期合作分工下的水平。
这是因为，虽然保险制度中规定预留的保险金只有在离婚时才全部给女性，但这却相当于提高了女性第二期的威胁点，使她即使不离婚也能够在谈判中多得到相当于全部保险金的收入。由于预留的保险金是双方平摊的，最终来看，保险机制的存在使女性得到了相当于保险金数量一半的额外收益。既然这项收益与她第一期的市场劳动时间负相关，那么女性当然会减少第一期的市场劳动时间。但是，当保险力度过大时，女性第一期市场劳动时间会下降到家庭的最优分工水平之下，此时保险力度的进一步提高自然就会使家庭福利进一步下降(参见图1)。
图1 保险力度上升对家庭福利的影响(p = 0.8‰)
命题8：在既定的离婚率之下，如果为家庭提供婚姻稳定性的保险，那么，随着保险力度(k)的提高，女性的福利不断上升，而男性的福利则不断下降。特别地，在最优的保险力度下，虽然家庭总福利能够达到两期合作分工时的最优水平，但女性单方面的福利水平仍然要低于两期合作分工状态。 如图2和图3所示，婚姻保险在提高家庭福利的同时使女性的福利以更快的速度增加，因此男性的福利在提高保险力度的过程中是下降的，尤其是当过度的保险使家庭福利反而下降时，女性福利的提高是以男性福利水平的更快速的降低为代价的。耐人寻味的是，最优保险力度虽然能够使家庭总福利达到两期合作分工时的水平，但却不能使女性的福利水平也重新上升到两期合作分工时的状态。这是因为， ①
这里我们假定女性仍然部分地从事市场劳动。
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