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描述这种空间变化。因此，变差函数被一些研究者用来提取图像的纹理信息。
1.2 基于变差函数的纹理图像研究
1.2.1 基于变差函数的纹理图像
变差函数能够充分描述出纹理图像的纹理特征、纹理的周期性。从变差函数图中的极值点间的距离可以算出纹理的周期大小，周期的复杂性由实验变差函数的极值点数量来确定。
由于变差函数理论不仅考虑区域化变量的随机性而且考虑数据的空间结构特征，变差函数的单步变差函数值能描述空间相邻两点的统计特征，因此理论上可以把它作为纹理描述进行纹理分析且具有方向不变性。在图像纹理特征提取中，主要使用以下三种变差函数的算法，分别为直接变差函数，绝对变差函数，交叉变差函数。以下是几种算法的详细介绍：
(1)直接变差函数
1rm(h)?2N?[Zm(xi)?Zm(xi?h)] (1-1) (h)2i?1N(h)
式中，Zm(xi)、Zm(xi+h)为点xi和点xi+h处的图像灰度值：h为这两点之间的距离； N(h)为所有相距为h两点的点对数目；m为波段号。
从上式可以看出rm(h)为关于h的函数。不同的纹理图像，当h固定时，在一定窗口大小范围内，rm(h)的变化规律是不同的，对于粗纹理，由于相邻点之间的值相近，所以rm(h)的值较小，反之对于细纹理，rm(h)的值较大。所以，变差函数可以用来描述纹理。
(2)绝对变差函数
由于部分纹理图像的噪声影响比较大，直接变差函数是像素点对之间的平方，这样就可能让变差函数值受噪声的影响，目前对消除噪声影响的方法还不够成熟，而将像素点对之间的值作绝对值，从而减少噪声对变差函数值的影响，绝对变差函数的公式如下：
N(h)1rm(h)?2N(h)?|Zm(xi)?Zm(xi?h)|(1-2)
i?1
(3)交叉变差函数
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rmn(h)?2N1(h)?Zm(xi)?Zm(xi?h)?Zn(xi)?Zn(xi?h)i?1N(h)?? (1-3)
前面两种变差函数值都在相同波段之间进行运算，这样只能反映同一波段之间的图像的空间相关性。为了能够反映不同波段之间的空间相关性，在此引用了交叉变差函数，该函数是关于两个不同波段之间空间变化的函数。式中，rmn(h)为相距为h的两波段之间的交叉方差函数值；N(h)为相隔距离为h的所有点对的数目；Zm(xi)是波段m在点xi处的灰度值，Zm(xi+h)是波段m在点xi+h处的灰度值； Zn(xi)是波段n在点xi处的灰度值，Zn(xi+h)是波段n在点xi+h处的灰度值；前两种变差函数值总是大于零，而交叉变差函数值可能大于零，也可能小于零，这由两变量的正相关或负相关决定。
1.2.2 变差函数在纹理信息分析中的应用
在生活中，纹理图像（包括胶片、磁带等为载体的地物、纺织物等的摄影照片或扫描照片）有着丰富的纹理信息,准确地提取纹理特征对于影像的分割和分类至关重要。基于变差函数的图像纹理特征提取是一种比较实用的且处于探索阶段的影像纹理分析方法。通过不同变异方向纹理图像的分析,可以知道纹理特征准确提取应正确选取的3个因子、不同计算方向对纹理图像生成结果的影响,同时表明变差函数法是图像纹理特征提取的一种有效手段。
1.3 基于变差函数的纹理分析国内外研究现状
纹理分类对于影像，特别对高空间分辨率影像分类精度的提高有重要的作用．三十年来研究者们找到了很多可以用作进行纹理分类的方法。这些方法一般通过影像滤波生成一个影像层或“额外的波段”，如计算移动窗口中的方差生成一个新的影像层以增加多变量分类的精度(如神经网络)可以被用来执行这种分类。近年来研究的重点集中在把变差函数作为移动窗口中纹理计算的手段．国内外学者对变差函数纹理的研究情况如下所述：
最早由Woodcock与Strahler(1983)；Woodcock等人(1988)开始应用变差函数法进行影像纹理分析[7]．
1988年CuiTan将变差函数应用到遥感影像当中，探讨草地、灌木林、林地以
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及水体的变差值，结果显示，不同的地表覆盖物存在不同的变差值，这个结果对于变差函数用于纹理分类方面，提供一个新的方法．
1992年Miranda等人则进一步发展出变差组织分类法。利用SIR-B影像进行地物分类，获得较好的研究成果。
1993年Miranda等人利用变差函数成功地将JERS—l SAR影像中土地覆盖进行分类，并讨论在微波遥感上的应用。
1998 Can和Miranda则比较了变差函数和灰度共生矩阵在遥感影像分类上的应用，在分类正确性方面，两者有相类似的结果。
2000年M．Chica-Olmo和AbarcaoHernandez利用变差函数和主成分分析法进行遥感影像的分类，并探讨不同变差模型方法的差异。
1991年11月，刘湘南等通过Kriging算子应用于TM资料空间分析的试验研究，证明了它在这类研究中的作用与精度。
2003年7月，李培军等运用LandSatTg数据对三种地统计学纹理量测方法用于图像分类的性能进行了比较和分析。研究发现，基于绝对值变差函数的纹理具有更好的性能。经典的变差函数和基于方根的变差函数的性能依赖于提取纹理时所用的窗口大小。
2004年7月，冯益明等借助图像处理软件ERDAS、地理信息系统软件Arcinfo以及空间统计分析软件ILWlS。在对T M遥感影像进行分类的基础上，运用空间统计学理论以及Kriging插值技术，内插了影像真实信息“缺失”斑块的信息。插值结果通过了精度检验。为解译影像信息“缺失”区，提供了一种手段和方法。
综之，将空间统计学理论用于纹理图像分析时，一般是用来描述图像纹理(imagetexture)，空间结构(spatialstructure)和插值(interpolation)三个方面。
1.4 本文的设计内容
论文将分五个章节加以阐述。
第1章绪论介绍纹理图像的基本概念以及分析方法、变差函数与图像纹理的关系、以及变差函数的纹理图像分析国内外研究现状。
第2章介绍了统计学变差函数基本理论。主要内容包括区域化变量、变差函数的定义、计算、变差函数图的生成、各方向性的变差函数及其图结果。
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第3章介绍了纹理图像各个方向上的变差函数值的程序流程图设计以及理论上的变差函数值结果。
第4章介绍了纹理图像各个方向上的变差函数值的程序仿真结果以及结果分析。
第5章介绍了本论文的结论与展望。
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大学本科毕业设计（论文） 第2 章 统计学变差函数的基本理论
2.1 区域化变量
平面坐标上的数据场可表示为分布于平面上的单值函数s=?(x,y)，若s为标量，则数据场为标量场；若s为矢量，则数据场为矢量场，大多数图像数据都为标量场。用变差函数理论来研究数据场，首先将?看成随机函数，记为Z，如果它是依赖多个自变量的随机函数，则称为随机场。以平面点x的直角坐标为自变量的随机场，即为一个区域化变量。区域化变量在观测前被看成随机场，在观测后被看作随机场的一个实现。因而这种变量既表现一定的随机性，又表现为一定的结构性，区域化变量可以表述为：
(1)在任意点x处，Z(x)表现为一个随机变量；
(2)在点x1，x2处的随机变量Z(x1)和Z(x2)通常是不独立的。第一个点反映了区域化变量的随机性，而第二个点体现了区域化变量的结构性。
2.2 变差函数的概念和纹理图像分析
2.2.1 定义
对于区域化变量Z(x)，它的数学期望是关于x的一个函数，即E[Z(x)]=m(x)，在变差函数理论中，所用到的二阶矩包括协方差、方差、变差函数[8]。 方差函数的定义如下：
D(Z(x))?E?Z(x)?m(x)? (2-1)
2上式中D(Z(x))也称为var(Z(x))。
协方差函数的定义为：
?Z(x2)?E[Z(x2)]? (2-2) Cov?x1,x2??E?Z(x1)?E?Z(x1)??
其中x1，x2代表两个不同的点。把区域化变量Z(x)在x1，x2两点处的值之差的方差之一半定义为变差函数：
1(2-3) (2-3) r(x1,x2)?D[z(x1)?Z(x2)]2
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