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可以看出，这些二阶矩都是位置的函数，x1,x2是平面上的任意两点，因此关
于协方差、方差和变差函数的推断需要许多点对{Z(x1),Z(x2)}的实现。由于一幅图像中含有大量的像素点。将每一像素点看作为一个区域化变量的实现，则有充分的样本点估算变差函数或协方差函数。
变差函数理论不仅考虑区域化变量的随机性而且考虑数据的空间结构特征。 显然, 图像数据不是纯随机变量, 它具有明显的结构特征, 可以把图像数据点看作区域化变量.区域化变量是既有随机性又有结构性的变量, 定义区域化变量Z( x ) 在x , x+ h 两点处的值之差的方差之半为Z( x )在h 方向上的变差函数, 即:
r ( x , h)= ( 1/ 2) Var [ Z( x ) - Z( x+ h) ] = ( 1/ 2) E[ Z( x )- Z( x+ h) ] 2- ( 1/ 2) { E[ Z ( x ) ] - E [ Z ( x +h) ] } 2 (2-4) 2.2.2 纹理变程
定义1", 称r* (h) 在h=1时为单步变差值,h= k (k= 2,3,......) 时,r*(k)为k步变差值[9]。有些纹理图像数据有某种程度的周期性, 假设其周期大小为f。 定义2", 称有周期性的纹理图像变差函数r*(h)的第一个极小值点所对应的h 值为纹理图像变差函数的纹理变程,记为wa。
定义3", 计算以图像某一像素点为中心的1*1窗户内的纹理图像变差函数值及变程, 分别称之为该像素点的变差函数值和变程。
而在实验中常常会选用一下公式计算变差值：
1N(h)rm(h)?2N(h)?[Zm(xi)?Zm(xi?h)]2(2-5)
i?1
Z(xi) 是点xi的值. 理论变差函数rm(h) 是一条单调递增的曲线, 反映出区域化变量随着空间距离的增加不相关程度逐渐增大趋于一定值,但是对于有周期性的纹理图像, 变差函数曲线表现为类似于正弦函数曲线的周期性，详细图见第4章实验结果图。
如何选取纹理图像的变程？
本文的实验中，选取某一像素点为m*n的纹理图像I1，从其像素矩阵中选取任意连续的的10行（或者10列）的行（列）阵A1、A2、A3……A10。现在对其任意一行阵如A1，进行变程的选取。假设选取1*n的A1阵，即A1有1行n列，取
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h=1,2,3,4，5……n/2。 2.2.3 变差函数值及其绘制
在2.2.2中讲到选取矩阵A1窗口的变程，将A1矩阵带入到式(2-5)中，对于h=1,2,3,4……n/2求出对应的rm(h) 值r1(h),r2(h),r3(h),r4(h)……rn/2(h)放入到k1阵中，即可得到1*n/2的变差函数矩阵k1。注意式(2-5)中N(h)为所有相距为h两点的点对数目，大小为n-h，即列数减去变程的值。
然后，计算出k2,k3,k4,k5……k10的大小，将所有矩阵相加求出平均值矩阵avg_k,也就是平均值变差函数值，在MATLAB环境下绘制出该图像，进行周期性分析。A1列阵、A1斜阵计算方法相同，这里不作再述。
对于不同的分割距离h，根据变差函数的公式可以计算出不同的变差函数值r(h)。以分割距离h作为横坐标，以该距离对应的变差函数值作为纵坐标，可以得出理论变差函数图[10]如下：
图2-1 变差函数图
从图上可以看出变差函数是一个单调递增函数，而且随着变差函数值r(h)的增大，空间两点之间的性状差异越大，两者之间的相关性和连续性越小。图中可以看出，变差函数值r(h)随着h的增大而增大，但当h增加到一定程度时，变差
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函数值r(h)的递增程度在减弱，基本上开始保持在一个稳定的值附近，此时的值称为基台值(sill)，用C或C0+C表示，处于稳定值时所对应的h称为变程(range)，用a表示，它是区域化变量空间变异性的尺度。变差函数曲线在y轴上的截距称为区域不连续性值，亦称块金系数(nugget)，用C0表示。理论上，r(0)=0，但r(0)通常大于零，这可能是由于抽样的空间尺度不合适或者是由于数据的内禀随机性引起的，因此，C0的大小可以反映区域化变量的局部随机性大小。(基台—块金)的大小，即(C／C0)的大小可反映空间变异在总变异中所占的比例，或用随机程度(块金／基台即C0／C)的大小反映研究范围内不是由空间自相关引起的那部分变异在总变异中所占的比率，也就是随机性和结构性所占的成分。
我们可以根据变差函数图来分析变差函数的性质：
a称为变差函数的变程，在变差函数中，变程a是一个非常重要的参数，其大小可以反映变量的影响范围。变程a越大，变量的影响范围越大，反之，则越小，即变程与变量的影响范围成反比。也就是说，变程a的值体现了空间变量之间的相关性大小，变程a越大，变量间的相关性越小：变程a越小，变量之间的相关性越大：当步长h大于变程a时，变量间就不存在相关性(如图2-1)。
2.3 统计分析
经典统计学是以概率论为基础的一门研究随机现象统计规律的应用数学学科，而空间统计学是以变量为基础的的一门研究特殊图像统计规律的应用数学学科。 空间统计与经典统计存在较大区别：
(1)经典统计研究的变量必须是纯随机变量。该随机变量的取值按某种概率分布而变化。而空间统计研究的变量不是纯随机变量，而是区域化变量。该区域化变量根据其在一个域内的空间位置取不同的值，它是随机变量与位置有关的随机函数。
(2)经典统计所研究的变量理论上可无限次重复或进行大量重复观测试验．而空间统计研究的变量则不能进行重复试验．因为区域化变量一旦在某一空间位置上取得一样品后，就不可能在同一位置再次取到该样品。
(3)经典统计的每次抽样必须独立进行，要求样本中各个取值之间相互独立。而空间统计中的区域化变量是在空间不同位置取样，因而，两个相邻样品中的值
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不一定保持独立，具有某种程度的空间相关性。
(4)经典统计以频率分布图为基础研究样本的各种数字特征。空间统计除了要考虑样本的数字特征外，更主要的是研究区域化变量的空问分布特征。因此，空间统计的主要研究是围绕着变量空间分布理论和估计方法。
(5)变差函数是空间统计方法的一种，它能在变差函数图中体现出纹理的周期性、频谱性，因此可以用它来描述纹理的周期性和方向性，因此被广泛应用于纹理图像的分析中，用变差函数分析图像纹理的周期性、规律性会更加方便、更加智能化。
（6）正是上述主要区别，导致空间统计研究与经典统计相比，运用起来更加方便、计算量小、适用性强、可靠性高、易学易用、容易修改，具有较多优点与特色，因此在图像处理中得到了更广泛的应用，在遥感、生物医学、农工业生产、军事、公安、办公自动化等领域得到了迅速的发展。
2.4 本章小结
本章主要研究区域化变量、变差函数相关概念、基于变差函数的纹理图像分析、变差函数值的绘制、以及统计分析等内容。
(1)由区域化变量引入变差函数，用变差函数来描述图像纹理的区域化变量的变化情况。变程h越小，变量间的相关性越大；变程h越大，变量间的相关性越小。但是，当变程h充分大时，两个区域化变量就完全不相关。
(2)对纹理图像的像素矩阵选取目标窗口，对目标窗口运用变差函数公式，得到平均变差函数值，绘制出图像。图2-1是理想的变差函数值图像。通过变差函数图像可以反映出纹理图像的纹理周期性情况，变差函数的周期既是图像纹理的周期。对于有周期性的纹理图像，变差函数曲线表现为类似正弦函数曲线的周期性。
(3)变差函数是空间统计学的经典方法之一，具有较多优点和特色，是一个迅速发展的研究领域。
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第3章 程序设计
3.1 变差函数在水平方向的流程图及程序设计
本实验最关键是要实现变差公式的程序[11]，下面举一个例子说明变差公式的计算方法[12]。假设选取的A1矩阵为[1 2 3 4 5 6 7 ]，对A1矩阵进行变差函数值计算（此处由于只是演示变差函数的计算方法，所以A1阵的列数n取的较小，而实际中A1阵的列数取值根据情况的不同一般都比较大）。
(1)n=6（向0取偶），h最大取到n/2=3； (2)当h=1时，
r1(h)?1??1?22?5???0.5???2?3???3?4???4?5???5?6????
22222 当h=2时，
r2(h)?21?1?3??2?4???2??2?4???3?5???4?6????
222 当h=3时，
r3(h)?1??1?42?3???4.5???2?5???3?6????
222(3)将所有的变差值送入到k1阵里，则有k1=[r1(h),r2(h),r3(h)]。 而编程序中需要考虑到：
①变量的选取。取像素矩阵水平方向上的矩阵设计程序时，本实验中只选取了A阵窗口（选取的目标矩阵）的列数 n为变量。在计算步距h过程中，需要将n偶数化，因为步距h必须取整数。
②取i行A阵时，本实验中是已经给定初始行和终止行（计算其差值记为i）,i取10或50。
流程图如图3-1所示，变差函数的部分程序如下：
for i=200:250 %起始行为200，终止行为250；
A=I1(i,1:n); %A取200到250行其中某一行； k=[]; %给一个k阵；
for h=1:n/2 %步距h从1取到n/2； k(h)=0; %初始化k阵；
for m=1:n-h %m从1取到n-h；
k(h)=k(h)+(A(m)-A(m+h))^2/(2*(n-h)); %求出每个步距h对应的
函数值r*(h)放在k阵中；
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