专题59 求知路上能走多远-探索性问题
考纲要求: 1.圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的简单应用. (5)理解数形结合的思想. 2.曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 基础知识回顾:
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索性问题；（2）结论探索性问题；（3）探索存在性问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目． 从近几年高考命题看，考查频率较高的是探索存在型问题. 应用举例:
类型一 结论探索性问题
x2y2【例1】【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左，
ab右焦点分别为F1,F2.点P,M,N在椭圆C上，直线MN过坐标原点O，若FM?F1N?4， 11kPMkPN??.
4（1）求椭圆C的方程；
（2） 设椭圆在点P处的切线记为直线?，点F1,F2,O在?上的射影分别为A,B,D，过P作?的垂线交x轴于点Q，试问
F1AF2B是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. ?ODPQFAFBx2?y2?1；【答案】（1）（2）1?2?1. 4ODPQ（2）由（1）知F1?3,0,F2???3,0，直线的方程为：
?x0x?y0y?1 42即： x0x?4y0y?4?0，所以F1A??3x0?4x0?16y022?3x0?4x0?16y02
F2B??3x0+4x0?16y022?3x0?4x0?16y0?22
∴F1A?F2B?3x0?4x0?16y0223x0?4x02?16y0216?3x02??1. 16?3x02∵PQ??，∴PQ的方程为y?y0?3x4y03x0??x?x0?，令y?0，可得x?0，∴Q??4,0?
4x0??（几何法）
当P不在y轴时，不妨令P?x0,y0?在第一象限，直线?的方程为
xx04?yy0?1，令y?0,x? 4x0∴AF1?FGsin???1?4??4??3?sin?， BF2?F2Gsin????3?sin?， ?x0??x0?OD?OGsin??4sin? x04y0?x?x0? x0∵PQ与?垂直，∴kPQ?k???1， lPQ:y?y0?令y?0,x??43?3x0，∴PQ?QGsin????x0?sin? 4?x04??4?4?3????3F1AF2B?x0x0????1 ∴
ODPQ??443???x0?x0?x04?当P在y轴时， AF1?BF2?OD?PQ，
F1AF2B??1 ODPQ
【例2】【2015高考新课标2，理20】已知椭圆C:9x2?y2?m2(m?0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M． (Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此3时l的斜率，若不能，说明理由．
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，4?7或4?7．
4?7或4?7时，四边形OAPB为平行四边形．
x2y22【例3】【2015高考福建，理18】已知椭圆E：2+2=1(a>b>0)过点(0,2），且离心率为．
ab2(Ⅰ)求椭圆E的方程；
，(m?R)交椭圆E于A，B两点，判断点G(-,0)与以线段AB为直径的圆的位(Ⅱ)设直线x=my-1置关系，并说明理由．
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9x2y2+=1；(Ⅱ) G(-,0)在以AB为直径的圆外． 【答案】(Ⅰ)
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